信息学奥赛一本通 1276：【例9.20】编辑距离

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ybt 1276：【例9.20】编辑距离

【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

【解题思路】

本题分析方法类似于求最长公共子序列

1. 状态定义

集合：从字符串A转变为字符串B的方案
限制：A的前i个字符与B的前j个字符
属性：操作次数
条件：最小
统计量：操作次数
状态定义：dp[i][j]表示A的前i个字符转变为B的前j个字符的操作次数最少的方案的操作次数。
初始状态：
dp[0][j]为把空字符串转为长为j的字符串的操作次数，操作方法为：j次添加字符。所以dp[0][j] = j
dp[i][0]为把长为i的字符串转为空字符串的操作次数，操作方法为：i次删除字符。所以dp[i][0] = i

2. 状态转移方程

记$A_i$表示A的前i个字符构成的子串。$B_j$表示B的前j个字符构成的子串。a[i]为A序列的第i个元素，b[j]为B序列的第j个元素。
分割集合：从$A_i$转变为$B_j$的方案

• 如果a[i]等于b[j]，那么只需要将$A_{i-1}$转变为$B_{j-1}$，即可完成将$A_i$转变为$B_j$，操作次数为dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
• 如果a[i]不等于b[j]，可以有三种方案：添加、删除、修改
  • 在$A_i$末尾添加字符b[j]，那么添加后的字符串的末尾字符与$B_j$的末尾字符相同，只需要先将$A_i$转为$B_{j-1}$，即可完成转变，操作次数为dp[i][j] = dp[i][j-1]+1
  • 删除$A_i$末尾的字符a[i]，那么就需要先将$A_{i-1}$转变为$B_j$，操作次数为：dp[i][j] = dp[i-1][j]+1
  • 将$A_i$末尾的字符a[i]修改变为b[i]，此时$A_i$与$B_j$末尾相同，那么只需要先将$A_{i-1}$转为$B_{j-1}$，即可完成转变。操作次数为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
  • 以上三种情况取最小值

【题解代码】

写法1：线性动规

#include 
using namespace std;
#define N 2005
int dp[N][N];
int main()
{
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int l1 = s1.length(), l2 = s2.length();
    for(int i = 1; i <= l1; ++i)
        dp[i][0] = i;
    for(int j = 1; j <= l2; ++j)
        dp[0][j] = j;
    for(int i = 1; i <= l1; ++i)
        for(int j = 1; j <= l2; ++j)
        {
            if(s1[i-1] == s2[j-1])//第i与第j字符，在字符串中下标从0开始
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            else//添加 删除 修改 
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1), dp[i-1][j-1]+1);
        }
    cout << dp[l1][l2];
    return 0;
}