acm总结——归并排序

时间复杂度：O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)

原理：

运用分治的思想，例如我们把一个无序数组分成[1, mid],[1, mid + 1]两个区间，将其分别排序完后再合并，当我们使用递归分成若干个区间后，当区间中仅有一个数便不需要先将区间排序再进行合并，我们只需回溯到上一个区间，最后便能得到一个有序序列。

操作：

我们分别需要进行两个操作：分割区间和归并区间

分割区间：我们可以利用递归，取一个L和R两个端点，每次取mid = (L + R) >> 1，然后递归一下（L, mid）、（mid + 1，R）两个区间，直至只有一个数

归并区间：对于归并两个区间的情况，这两个区间都是有序序列，我们需要再开辟一个额外的数组用于储存归并后的数。对于这两个区间，我们可以设一个指针i和一个指针j，从两个序列的起始位置开始移动，让较小的（从小到大排序）数先进数组里，当有一个指针到达末尾便退出，再设两个while循环让其未进数组的数直接进入即可

代码实现

#include
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int temp[N];
int q[N];
void mergesort(int q[], int L,int R){
    if(L >= R){
        return;
    }
    int mid = L + R >> 1;
    mergesort(q, L, mid), mergesort(q, mid + 1, R);
    int cnt = 0, i = L, j = mid + 1;
    //两个有且仅有一个发生越界
    while(i <= mid && j <= R){
        temp[cnt++] = q[i] < q[j] ? q[i++] : q[j++];
    }
    while(i <= mid){
        temp[cnt++] = q[i++];
    }
    while(j <= R){
        temp[cnt++] = q[j++];
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++){
        q[L + i] = temp[i];
    }
}
signed main(){
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n;i++){
        cin >> q[i];
    }
    mergesort(q, 1, n);
    for (int i = 1; i <= n;i++){
        cout << q[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

例题：逆序对

对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 a[i] > a[j] 且 i

思路：当分割成小区间要归并的时候，设i为（L，mid）区间中的指针，j为（mid + 1, R）区间的指针，当a[i] > a[j]的时候，因为i在j的前面，所以这个区间中（i，mid）均为大于a[j]的数，所以此刻就有有mid - i + 1个逆序对

代码实现

#include
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int temp[N];
int q[N];
int res;
void mergesort(int q[], int L,int R){
    if(L >= R){
        return;
    }
    int mid = L + R >> 1;
    mergesort(q, L, mid), mergesort(q, mid + 1, R);
    int cnt = 0, i = L, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= R){
        if(q[i] <= q[j]){
            temp[cnt++] = q[i++];
        }
        else{
            temp[cnt++] = q[j++], res += mid - i + 1;
        }
    }
    while(i <= mid){
        temp[cnt++] = q[i++];
    }
    while(j <= R){
        temp[cnt++] = q[j++];
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++){
        q[L + i] = temp[i];
    }
}
signed main(){
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n;i++){
        cin >> q[i];
    }
    mergesort(q, 1, n);
    cout << res;
    return 0;
}