有限元方法之三角形元任意阶的Lagrange型形状函数

前言

本文主要介绍Lagrange型形状函数在三角形单元上基函数公式和节点坐标公式的推导，以及相应的面积坐标相关知识。

求解区域

求解区域即偏微分方程所定义的区域，或者说几何形状。

1. 一维

一维元素多是线元即线段。相应元素节点可以取线段的两个端点，或者线段中点。

2. 二维

二维元素有三角形，矩形，四边形等。相应元素节点可以取多边形的顶点，或者边的中点，以及多边形的形心。

3. 三维

三维元素有四面体，五面体，三棱柱体，六面体等。

形状函数

形状函数一般采用多项式，一是计算方便；二是易于证明其收敛性，并要求多项式的次数与元素（单元）自由度匹配得当。

1. 一维 $k$ 次多项式 $$p_k(x)=\sum _{i=0}^{T_k^{(1)}}{a}_i{x}^i$$
   其中$T_k^{(1)}=k+1$ 是 $p_k(x)$ 的项数。

2. 二维 $k$ 次多项式 $$p_k(x,y)=\sum _{m=1}^{T_k^{(2)}}{a}_m{x}^i{y}^{j}i+j\le k$$
   它的独立项数 $T_k^{(2)}=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ 。
   二维$k$次完全多项式自由度可以用如下一个三角形排列表示：
   

3. 三维 $k$ 次完全多项式 $$p_k(x,y,z)=\sum _{l=1}^{T_k^{(3)}}{a}_l{x}^i{y}^j{z}^{m}i+j+m\le k$$
   其中独立项数 $T_k^{(3)}=(k+1)(k+2)(k+3)/6$ 。
   三维$k$次多项式自由度可以排列成如下四面体形式：
   

三角形单元

在二维问题中，三角形元素被广泛采用，除了它形状简单，随意性大，适应区域形状能力强的优点，当采用面积坐标后，三角形单元的形状函数生成简单，容易标准化。

面积坐标

设任意三角形三个顶点$A_1$ $A_2$ $A_3$ 按逆时针排列，三角形的面积为$\Delta$。 取三角形内任一点$P(x,y)$，由点$P$向三个顶点分别引直线，将三角形分割成三个三角形$P{A}_2{A}_3$， $P{A}_3{A}_1$， $P{A}_1{A}_2$。分别记相应的面积为${\Delta }_1$，${\Delta }_2$，${\Delta }_3$，令
$${\lambda }_1={\Delta }_1/\Delta ,{\lambda }_2={\Delta }_2/\Delta ,{\lambda }_3={\Delta }_3/\Delta ,(1)$$
称${\lambda }_i(i=1,2,3)$为$P$点的面积坐标，显然有
$$0\le {\lambda }_i\le 1,{\lambda }_1+{\lambda }_2+\lambda 3=1(2)$$
说明，三角形$A_1{A}_2{A}_3$内的任一点$P$比对应一组数${\lambda }_i$，它们满足（2）。反之，若给出三个数${\lambda }_i$满足（2），则必能在三角形$A_1{A}_2{A}_3$内按（1）确定一个与之相应的$P$点。
显然，三角形的三个顶点的面积坐标为$$A_1=(1,0,0),A_2=(0,1,1),A_3=(0,0,1)$$

若三角形三个顶点的直角坐标分别为$A_1(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2),A_3(x_3,y_3)$，并记
$$\begin{gathered} a_i=y_i-y_k,b_i=-(x_j-x_k) \\ {c}_i=\left|\begin{array}{cc}{x}_j& x_k\\ y_j& y_k\end{array}\right|,i,j,k按1,2,3轮换 \end{gathered}$$
记$D_0=|D|$， 其中$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right|=c_1+c_2+c_3$$
那么面积坐标与直角坐标之间的关系为
$${\lambda }_i=(a_{i}x+b_{i}y+c_i)/D_0,i=1,2,3.(3)$$
或
$$\{\begin{array}{c}x={\sum }_{i=1}^3{x}_i{\lambda }_i\\ y={\sum }_{i=1}^3{y}_i{\lambda }_i\\ {\lambda }_1+{\lambda }_2+\lambda +3=1\end{array}(4)$$
这是从$(x,y)$平面到$({\lambda }_1,{\lambda }_2)$平面之间的映射关系，它将$(x,y)$平面上任一三角形$A_1{A}_2{A}_3$映射到$({\lambda }_1,{\lambda }_2)$平面三角形$\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}$如下图所示，称$\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}$为标准三角形。

由于$(x,y)$是$({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$的函数，$({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$也是$(x,y)$的函数，则导数有如下关系
$$\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial {\lambda }_1}\\ \frac{\partial }{\partial {\lambda }_2}\end{array}\right]=J\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\end{array}\right]=J^{-1}\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial {\lambda }_1}\\ \frac{\partial }{\partial {\lambda }_2}\end{array}\right]$$
其中$J$为从$(x,y)$到$({\lambda }_1,{\lambda }_2)$坐标变换的$Jacobi$矩阵。
$$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial {\lambda }_1}& \frac{\partial y}{\partial {\lambda }_1}\\ \frac{\partial x}{\partial {\lambda }_2}& \frac{\partial y}{\partial {\lambda }_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_1-x_3& y_1-y_3\\ x_2-x_3& y_2-y_3\end{array}\right]$$

三角形单元的Lagrange型形状函数

二元$n$次多项式
$$P_n(x,y)=\sum _{i+j=1}^{T_n}{a}_{ij}{x}^i{y}^j(5)$$
有$T_n=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$个自由度。若采用自然坐标即面积坐标$\Lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$且$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\in Z_{+}^3$ 那么
$$P_n({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=\sum _{|\alpha |=n}{A}_{\alpha }{\lambda }_1^{{\alpha }_1}{\lambda }_2^{{\alpha }_2}{\lambda }_3^{{\alpha }_3}(6)$$

对于 $Lagrange$ 型形状函数，由于每个节点上只有一个自由度，所以 $n$ 次形状函数有 $T_n$ 个节点与它对应。如果将$T_n$ 个节点上的形状函数记为${\psi }_i(\Lambda )$，则
$${\psi }_i({\Lambda }_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{c}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}(7)$$
其中${\Lambda }_j$ 为第$j$点的面积坐标$({\lambda }_{1j},{\lambda }_{2j},{\lambda }_{3j})$。由（7）的$T_n$个方程，可决定第 $j$ 点相应的 $n$ 次多项式的系数， 用此方法，在单元上可构成 $T_n$ 个$Lagrange$型的形状函数，而生成 $(T_n,n,0)$元素。

三角形单元上Lagrange型形状函数的节点坐标

对于三角形的任意一条边，例如， 第一个顶点的对边${\lambda }_1=0$，因此，在每一条边上的二元$n$次多项式$P_n$变成一元$n$次多项式，而由于它有 $n+1$ 个自由度，所以必须由该边上的 $n+1$ 个节点参数确定，这$n+1$ 个节点取两个顶点和这边上的$n-1$个中间点。为简单，在$T_n$ 个节点中，无论是$E_n=3n$ 个外节点，还是$T_n-E_n=(n-1)(n-2)/2$ 个内节点，都均匀且对称地配置着，它们由下列直角坐标给出：
$$(\sum _{l=1}^3{\beta }_l{x}_l/n,\sum _{l=1}^3{\beta }_l{y}_l/n)(8)$$
其中$\beta =({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)\in Z_{+}^3$， 并满足
$$0\le {\beta }_l\le n,l=1,2,3(9)$$
且不同的$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$ 对应不同的点。显然满足（9）的 $\beta$ 恰恰有$T_n$个。将这样的$\beta$的集合记为$B$， 而$(x_l,y_l)(l=1,2,3)$是三角形三个顶点的直角坐标，则$T_n$ 个节点的自然坐标即面积坐标${\lambda }_i(i=1,2,3)$ 为
$${\lambda }_{i\sigma }=\sum _{l=1}^3{\beta }_l{\lambda }_{il}/n,\sigma =1,2,...,T_n(10)$$
由（8）可以推出，在$T_n$ 个节点中一定包含三个顶点，其余的节点按平行与三条边连接成平行线，将原来的三角形分成$n^2$ 个相等的三角形，这些小三角形的顶点作为单元的$T_n$ 个节点， 如下图所示：

例如 $n=1$， 则 $T_n=3$, 此时
$$B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$$
带入（10）得 3 个节点的面积坐标为
$$\begin{gathered} {\Lambda }_1=({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=(1,0,0), \\ {\Lambda }_2=(0,1,0),{\Lambda }_3=(0,0,1) \end{gathered}$$

三角形单元Lagrange型形状函数关键汇总