对勾函数_对勾函数

专题：对勾函数

.

基本不等式与对勾函数

一、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质 x

性质：

1. 定义域： (,0) (0,)

2. 值域： (,2 ab) (2 ab,)

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾” 的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即

f (x) f (x) 0

4. 图像在一、三象限

当 x0 时 ， 由 基 本 不 等 式 知

y ax b 2 ab (当且仅当 x b 取等号)， 即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab

x

a

a

由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a

5. 单调性：增区间为( b , )，( , b ) 减区间是(0， b )，( b ,0)

a

a

a

a

一、对勾函数的变形形式

类型一：函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性质 x

此函数与对勾函数 y (a)x (b) 关于原点对称，故函数图像为 x

性质：

'.

.

类型二：斜勾函数 y ax b (ab 0) x

① a 0,b 0 作图如下

性质：

② a 0,b 0 作图如下：

类型三：函数 f (x) ax2 bx c (ac 0) x

此类函数可变形为 f (x) ax c b ，则 f (x) 可由对勾函数 y ax c 上下平移得到

x

x

例 1 作函数 f (x) x2 x 1 的草图 x

解： f (x) x2 x 1 f (x) x 1 1作图如下：

x

x

类型四：函数 f (x) x a (a 0, k 0) xk

此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f (x) 可由对勾函数 y x a 左右平移，上下平移得到

xk

x

例 2 作函数 f (x) x 1 的草图 x2

解： f (x) x 1 f (x) x 2 1 2 作图如下：

x2

x2

例 3 作函数 f (x) x 3 x 的作图： x2

'.

.

解： f (x) x 3 x f (x) x 2 1 x 1 1 x x

2020-07-07

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对勾函数(图像及概念)

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x 的函数，是 一种教材上没有但考试老喜欢考的函数， 所以更加要注意和学习。 一般的函数图像形似两个中心对称的 对勾，故名。当 x>0 时，f(x)=ax+b/x 有最小值(这里为了研究方便，规定 a>0，b>0) ，也就是当 x=

b a

的时候。同时它是奇函数，就可以推导出 x<0 时的性质。令 k=

b ，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}； a

减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0

ab 。 现在把 ax+b/x 套用 这个 公式 ，得 到

ax+b/x≥2

ab b ＝2 ab ，这里有个规定：当且仅当 ax=b/x 时取到最小值，解出 x= ，对应的 x a

f(x)=2 ab 。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥ ab ，前式大家都知道，是求平 均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的 则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌 握。举几个例子： f(x)=ax+

1 =x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，x 为分母的时候可以转化成负指数幂