数据结构和算法（9）：伸展树

伸展树

伸展树也是平衡二叉搜索树的一种形式。相对于AVL树，伸展树的实现更为简捷。

伸展树无需时刻都严格地保持全树的平衡，但却能够在任何足够长的真实操作序列中，保持分摊意义上的高效率。
伸展树也不需要对基本的二叉树节点结构，做任何附加的要求或改动，更不需要记录平衡因子或高度之类的额外信息，故适用范围更广。

数据局部
1）刚刚被访问过的元素， 极有可能在不久之后再次被访问到；
2）将被访问的下一元素 ，极有可能就处于不久之前被访问过的某个元素的附近。

二叉搜索树而言，数据局部性具体表现为：
1）刚刚被访问过的 节点，极有可能在不久之后再次被访问到；
2）将被访问的下一 节点，极有可能就处于不久之前被访问过的某个节点的附近。

伸展树：逐层伸展

每访问过一个节点之后，随即反复地以它的父节点为轴，经适当的旋转将其提升一层，直至最终成为树根。

随着节点E的逐层上升，两侧子树的结构也不断地调整，故这一过程也形象地称作伸展。
若节点总数为n，则旋转操作的总次数应为：
$$(n-1)+\{(n-1)+(n-2)+...+1\}=(n^2+n-2)/2=\mathcal{O}(n^2)$$如此分摊下来，每次访问平均需要O(n)时间。

伸展树：双层伸展

将逐层伸展改为双层伸展。具体地，每次都从当前节点v向上追溯两层（而不是仅一层），并根据其父亲p以及祖父g的相对位置，进行相应的旋转。

zig-zig / zag-zag

设v是p的左孩子，且p也是g的左孩子；设W和X分别是v的左、右子树，Y和Z分别是p和g的右子树。
通过 zig-zig 操作，将节点 v 上推两局。

zig-zag / zag-zig

设v是p的左孩子，而p是g的右孩子；设W是g的左子树，X和Y分别是v的左、右子树，Z是p的右子树
通过 zig-zag 操作，将节点 v 上推两局。

zig / zag

若v最初的深度为奇数，则经过若干次双层调整至最后一次调整时，v的父亲p即是树根r。将v的左、右子树记作X和Y，节点p = r的另一子树记作Z。
通过 zig 操作，将节点 v 上推一局，成为树根。

双层伸展策略优于逐层伸展策略的关键在于 zig-zig / zag-zag。

效果与效率

每经过一次双层调整操作，节点v都会上升两层。
若v的初始深度depth(v)为偶数，则最终v将上升至树根；
若depth(v)为奇数，则当v上升至深度为1时，最后再相应地做一次zig或zag单旋操作，v上升至树根。
无论如何，经过depth(v)次旋转后，v最终总能成为树根。

就树的形态而言，双层伸展策略可“智能”地“折叠”被访问的子树分支，从而有效地避免对长分支的连续访问。这就意味着，即便节点v的深度为O(n)，双层伸展策略既可将v推至树根，亦可令对应分支的长度以几何级数（大致折半）的速度收缩。单次操作均可在分摊的O(logn)时间内完成

伸展树：算法实现

伸展树接口定义

#include "../BST/BST.h”	//基于BST实现splay
template <typename T> class Splay : public BST<T>{ //由BST派生的Splay树模板类
protected:
	BinNodePosi(T) splay ( BinNodePosi(T) v );	//将节点v伸展至根
public:
	BinNodePosi(T) & search ( const T& e );		//查找(重写)
	BinNodePosi(T) insert ( const T&e );		//插入(重写)
	bool remove ( const T& e );					//删除（重写)
};

伸展算法

template <typename NodePosi> inline //在节点*p与*lc(（可能为空)之间建立父(左)子关系
void attachAsLChild ( NodePosi p，NodePosi lc ) { p->lc = lc; if ( lc ) lc->parent = p; }

template <typename NodePosis inline //在节点*p与*rc(可能为空）之间建立父(右)子关系
void attachAsRChild ( NodePosi p，NodePosi rc ) { p->rc = rc; if ( rc ) rc->parent = p; }

template <typename T>	//splay树伸展算法:从节点v出发逐层伸展
BinNodePosi(T) Splay<T>::splay ( BinNodePosi(T)v ) { //v为因最近访问而需伸展的节点位置
	if ( !v ) return NULL; BinNodePosi(T) p; BinNodePosi(T) g;//*v的父亲与祖父
	while ( ( p = v->parent ) &8 ( g = p->parent ) ){ //自下而上，反复对*v做双层伸展
		BinNodePosi(T) gg = g->parent;//每轮之后*v都以原曾祖父( great-grand parent )为父if ( IsLChild ( *v ) )
		if ( IsLChild ( *p ) ) { //zig-zig
			attachAsLChild ( g， p->rc ); attachAsLChild ( p, v->rc );
			attachAsRChild ( p, g ); attachAsRChild ( v, p );
		}else { llzig-zag
			attachAsLChild ( p, v->rc ); attachAsRChild ( g， v->1c );
			attachAsLChild ( v, g ); attachAsRChild ( v,p );
	else if ( IsRChild ( *p ) ) { //zag-zag
		attachAsRChild ( g, p->lc ); attachAsRChild ( p, v->lc );
		attachAsLChild ( p, g ); attachAsLChild ( v, p );
	}else { //zag-zig
		attachAsRChild ( p, v->1c ); attachAsLChild ( g, v->rc );
		attachAsRChild ( v,g ); attachAsLChild ( v, p );
	}
	if ( !gg ) v->parent = NULL;	//若*v原先的曾祖父*gg不存在，则*v现在应为树根
	else	//否则，*gg此后应该以*v作为左或右孩子
		( g == gg->lc ) ? attachAsLChild ( gg， v ) : attachAsRChild ( gg， v );updateHeight ( g ); 
	updateHeight ( p ); updateHeight ( v );
	}	//双层伸展结束时，必有g == NULL，但p可能非空
	if ( p = v->parent ) { //若p果真非空，则额外再做一次单旋
		if ( IsLChild ( *v ) ) 
			{ attachAsLChild ( p， v->rc ); attachAsRChild ( v, p ); }
		else	
			{ attachAsRChild ( p， v->lc ); attachAsLChild ( v, p ); }
			updateHeight ( p ); updateHeight ( v );
		}
	v->parent = NULL; return v;
}//调整之后新树根应为被伸展的节点，故返回该节点的位置以便上层函数更新树根

查找算法

//伸展树中查找任一关键码e的过程
template typename T> BinNodePosi(T) & Splay<T>::search ( const T& e ) {	//在伸展树中查找e
	BinNodePosi(T) p = searchIn ( _root，e，_hot = NULL );
	_root = splay ( p ? p : _hot );	//将最后一个被访问的节点伸展至根
	return _root;
}	//与其它BST不同，无论查找成功与否，_root都指向最后被访问的节点

调用二叉搜索树的通用算法searchIn()尝试查找具有关键码e的节点。无论查找是否成功，都继而调用splay()算法，将查找终止位置处的节点伸展到树根。

插入算法
首先调用伸展树查找接口Splay::search(e)，查找该关键码（图(a)）。于是，其中最后被访问的节点t，将通过伸展被提升为树根，其左、右子树分别记作TL 和TR（图(b)）。、接下来，根据e与t的大小关系（不妨排除二者相等的情况），以t为界将T分裂为两棵子树。比如，不失一般性地设e大于t。于是，可切断t与其右孩子之间的联系（图©），再将以e为关键码的新节点v作为树根，并以t作为其左孩子，以TR 作为其右子树（图(d)）。

template <typename T> BinNodePosi(T) Splay<T>::insert ( const T& e ) {	//将关键码e插入伸展树中
	if ( !_root ) i _size++; return _root = new BinNode<T> ( e );}	//处理原树为空的退化情况
	if ( e == search ( e )->data ) return _root;	//确认目标节点不存在
	_size++; BinNodePosi(T) t = _root; //创建新节点。以下调整<=7个指针以完成局部重构
	if ( _root->data < e ) {//插入新根，以t和t->rc为左、右孩子
		t->parent = _root = new BinNode<T> ( e，NULL,t, t->rc ); //2 + 3个
		if ( HasRChild ( *t ) ) { t->rc->parent = _root; t->rc = NULL; }	//<= 2个
	}else {//插入新根，以t->1c和t为左、右孩子
		t->parent = _root = new BinNode<T> ( e，NULL， t->lc， t ); //2 + 3个
		if ( HasLChild ( *t ) ) { t->lc->parent = _root; t->lc = NJLL; }	//<= 2个
	}
	updateHeightAbove ( t );	//更新t及其祖先（实际上只有_root一个)的高度
	return _root;	//新节点必然置于树根，返回之
}	//无论e是否存在于原树中，返回时总有_root->data == e

删除算法
在实施删除操作之前，通常都需要调用Splay::search()定位目标节点，而该接口已经集成了splay()伸展功能，从而使得在成功返回后，树根节点恰好就是待删除节点。

template <typename T> bool Splay<T>: : remove ( const T& e ) { //从伸展树中删除关键码e
	if ( !_root ll ( e != search ( e )->data ) ) return false;	//若树空或目标不存在，则无法删除
	BinNodePosi(T) w = _root; //assert:经search()后节点e已被伸展至树根
	if ( !HasLChild ( *_root ) ) {//若无左子树，则直接删除
		_root = _root->rc; if ( _root ) _root->parent = NULL;
	}else if ( !HasRChild ( *_root ) ) {//若无右子树，也直接删除
		_root = _root->lc; if ( _root ) _root->parent = NULL;
	} else {	//若左右子树同时存在，则
		BinNodePosi(T) lTree = _root->lc;
		lTree->parent = NULL; _root->lc = NULL;		//暂时将左子树切除
		_root = _root->rc; _root->parent = NULL;	//只保留右子树
		search ( w->data );	//以原树根为目标，做一次（必定失败的）查找
/ assert: 至此，右子树中最小节点必伸展至根，且（因无雷同节点）其左子树必空，于是
		_root->lc = lTree; lTree->parent = _root;//只需将原左子树接回原位即可
	}
	release ( w->data ); release ( w ); _size--;	//释放节点，更新规模
	if ( _root ) updateHeight ( _root ); //此后，若树非空，则树根的高度需要更新return true;//返回成功标志
}//若目标节点存在且被删除，返回true ;否则返回false

首先调用接口Splay::search(e)，查找该关键码，且不妨设命中节点为v（图(a)）。于是，v将随即通过伸展被提升为树根，其左、右子树分别记作TL 和TR（图(b)）。接下来，将v摘除（图(c )）。
然后，在TR 中再次查找关键码e。尽管这一查找注定失败，却可以将TR 中的最小节点m，伸展提升为该子树的根。得益于二叉搜索树的顺序性，此时节点m的左子树必然为空；同时，TL 中所有节点都应小于m（图(d)）。于是，只需将 TL 作为左子树与m相互联接，即可得到一棵完整的二叉搜索树（图(e)）。如此不仅删除了v，而且既然新树根m在原树中是v的直接后继，故数据局部性也得到了利用。