最长公共子序列

子序列

从一个序列A中任意删除若干项，剩余的序列叫做A的一个子序列。
比如对于序列A，B，C，D来说
它的子序列可以是：A,B,C,D,ACD…等等

最长公共子序列

定义：一个序列s,如果分别是另个或多个已知数列的子序列，且是所有匹配此条件中最长的，则称S是已知序列的最长公共子序列；
需要注意的是：子序列不需要在原序列中占用连续的位置。(但是相对位置不可变)

比如对于序列：
x序列：A B C B D A B
y序列：B D C A B A
他们最长公共子序列为：（最长公共子序列不唯一）
B C A B,
B D A B,
B C B A

动态规划求最长公共子序列的长度

递推公式

设序列X={x1,x2…xm}，Y={y1,y2…yn}
X与Y的最长公共子序列为Z={z1,z2…zk}
L（m,n）表示序列X的前m项和序列Y的前n项的最长公共长度

1. 当X和Y中至少有一个序列为空时：
   此时最长子序列的长度一定为0，于是

L（i，0）=L（0，j）=0 (1<=i<=m，1<=j<=n）

2. 当Xm=Yn时
   此时该字符应作为最长子序列中的一个，则X前m项和Y的前n项子序列的长度应该为：X前m-1项和Y的前n-1项子序列的长度加一

L（m，n）=L（m-1，n-1）+1 （m>=1，n>=1）

3. 当Xm！=Yn时
   3.1 此时xm作为最长子序列中的一个时：则X前m项和Y的前n项子序列的长度应该为：X前m项和Y的前n-1项子序列的长度（只有相等的时候才加一，在Y的前n-1项有一个会和xm相等已经加一，此时不能加一）

L（m，n）=L（m，n-1） （m>=1，n>=1）

3.2 此时Yn作为最长子序列中的一个时：则X前m项和Y的前n项子序列的长度应该为：X前m-1项和Y的前n项子序列的长度

L（m，n）=L（m-1，n） （m>=1，n>=1）

则递推公式为：

样例过程图解

x序列：A B C B D A B
y序列：B D C A B A
最后一个（红色处）一定是最大值

c语言代码：

#include  
#include 
char a[100],b[100],f[100][100],c[100];
void maxnum(int l1,int l2)
{
	int i=0,j=0;
	for(i=1;i<=l1;i++)
		{
			for(j=1;j<=l2;j++)
				{
					if(a[i-1]==b[j-1])	//相等时 
						{
							f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
						}
					else{	//不相等找最大值 
							f[i][j]=f[i-1][j]>f[i][j-1]?f[i-1][j]:f[i][j-1];
						}
				}
		}
}
int main()
{
	printf("请输入第一个字符串：");
	scanf("%s",a);
	printf("请输入第二个字符串：");
	scanf("%s",b);
	int l1,l2,i,j,n=0;
	l1=strlen(a);
	l2=strlen(b);
	maxnum(l1,l2);
	printf("最长公共子序列的长度为：%d\n",f[l1][l2]); 
	i=l1;
	j=l2;
	while(f[i][j]!=0)	//找出一个最长公共子序列 
	{
		if(f[i][j]==f[i-1][j-1]+1)	 
		{
			c[n]=a[i-1];
			i--;
			j--;
			n++;
		}
		else if(f[i][j]==f[i][j-1])
		{
			j--;
		}
		else if(f[i][j]==f[i-1][j])
		{
			i--;
		}
	}
	printf("某一个最长公共子序列：");
	for(i=n-1;i>=0;i--)
		printf("%c",c[i]);
}

运行结果：