指数函数：2017年文数全国卷A题21

2017年文数全国卷A题21

已知函数 .

（1）讨论 的单调性;

（2）若 ，求 的取值范围.

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【解答问题1】

函数的定义域为 .

① 若 , , 该函数的定义域内单调递增；而且有

② 若 ,

当 ，函数单调递减；

当 ，函数单调递增；

所以，当 ，函数取得最小值 ，

③ 若 , ,

当 ，函数单调递减；

当 ，函数单调递增；

所以，当 , 函数取得最小值

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【解答问题2】

根据第1问的结论可知：

① 若 , . 满足要求；

② 若 ,

③ 若 ,

综上所述，若 ，则 的取值范围是 .

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【提炼与提高】

用导函数讨论函数的单调性，是高中数学的核心内容，也是高考的必考项目。

本题的特色在于：需要综合应用二次函数与指数函数的知识方可顺利解答。体现了高考命题的方向，值得注意。

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