python深度优先搜索算法解决骑士周游问题

介绍

参考资料：
中国大学MOOC的数据结构与算法Python版

常用算法设计方法(6)——贪婪法

问题简介

骑士周游问题，是算法设计中的经典问题。
其一般的问题描述是：考虑nn大小的国际象棋棋盘上某个位置的一只马，按照马走“日”的规则，它是否可能只走nn-1步，正好走过除起点外的其他n*n-1个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。

算法

采用图的深度优先搜索算法解决。
解决方分为两步：
1、将合法走棋的次序表示为一个图。
2、采用图搜索算法搜寻一个长度为（行*列-1）的路径，路径上包含每个顶点恰一次。

深度优先搜索（Depth First Search，DFS），其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。
深度优先遍历图的方法是，从图中某顶点v出发：
（1）访问顶点v；
（2）依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；
（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

时间复杂度为 $O(k^n)，n为棋盘格数目。$
例如：

改进：
Warnsdoff算法：也是一种贪婪法，改变了遍历下一个节点的次序，边数少的节点先被搜索，提升了算法的实际性能。

实现

形成合法次序图

def knightGraph(bdSize):#形成无向图
    ktGraph = nx.Graph()
    for row in range(bdSize):
       for col in range(bdSize):
           nodeId = posToNodeId(row,col,bdSize)
           newPositions = genLegalMoves(row,col,bdSize)
           for e in newPositions:
               nid = posToNodeId(e[0],e[1],bdSize)
               ktGraph.add_edge(nodeId,nid,color='black')
    return ktGraph
def posToNodeId(row,col,bdSize):#节点标签：根据位置定义
    return row*bdSize+col
def genLegalMoves(x,y,bdSize):#从位置(x,y)出发，可到达的位置
    newMoves = []
    moveOffsets = [(-1,-2),(-1,2),(-2,-1),(-2,1),
                   ( 1,-2),( 1,2),( 2,-1),( 2,1)]
    for i in moveOffsets:
        newX = x + i[0]
        newY = y + i[1]
        if legalCoord(newX,bdSize) and legalCoord(newY,bdSize):
            newMoves.append((newX,newY))
    return newMoves
def legalCoord(x,bdSize):#是否超出棋盘范围
    if x >= 0 and x < bdSize:
        return True
    else:
        return False

寻找路径

    def knightTour(n,path,u,limit):
        kg.node[u]['color']='gray'#已遍历到此节点
        #u.setColor('gray')
        path.append(u)#加入到队列中
        if n < limit:#未搜索到一条可行路径
            nbrList = list(kg.neighbors(u))#下一个可搜索的节点集合
            i = 0
            done = False
            while i < len(nbrList) and not done:
                if kg.node[nbrList[i]]['color'] == 'white':#节点未经过
                    done = knightTour(n+1, path, nbrList[i], limit)
                i = i + 1
            if not done:  # prepare to backtrack
                path.pop()
                kg.node[u]['color']='white'#设置成未搜索
                #u.setColor('white')
        else:
            done = True
        return done

改进算法

def orderByAvail(n):#排序，边少的点优先
    resList = []
    for v in kg.neighbors(n):
        if kg.node[v]['color'] == 'white':#计算未走过的节点的所连接边的个数
            c = 0#计数
            for w in kg.neighbors(v):
                if kg.node[w]['color'] == 'white':
                    c = c + 1
            resList.append((c,v))
    resList.sort(key=lambda x: x[0])#按边的个数从小到大排序
    return [y[1] for y in resList]
def knightTourBetter(n,path,u,limit):  #use order by available function
        kg.node[u]['color']='gray'
        #u.setColor('gray')
        path.append(u)
        if n < limit:
            nbrList = orderByAvail(u)
            i = 0
            done = False
            while i < len(nbrList) and not done:
                if kg.node[nbrList[i]]['color'] == 'white':
                    done = knightTourBetter(n+1, path, nbrList[i], limit)
                i = i + 1
            if not done:  # prepare to backtrack
                path.pop()
                kg.node[u]['color']='white'
        else:
            done = True
        return done

结果

无向图：

深度优先搜索：


改进算法：

由结果可知：改进后算法运行时间约为原算法的1/3。

代码

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import time
start1 = time.clock()
#print(start)

def knightGraph(bdSize):#形成无向图
    ktGraph = nx.Graph()
    for row in range(bdSize):
       for col in range(bdSize):
           nodeId = posToNodeId(row,col,bdSize)
           newPositions = genLegalMoves(row,col,bdSize)
           for e in newPositions:
               nid = posToNodeId(e[0],e[1],bdSize)
               ktGraph.add_edge(nodeId,nid,color='black')
    return ktGraph
def posToNodeId(row,col,bdSize):#节点标签：根据位置定义
    return row*bdSize+col
def genLegalMoves(x,y,bdSize):#从位置(x,y)出发，可到达的位置
    newMoves = []
    moveOffsets = [(-1,-2),(-1,2),(-2,-1),(-2,1),
                   ( 1,-2),( 1,2),( 2,-1),( 2,1)]
    for i in moveOffsets:
        newX = x + i[0]
        newY = y + i[1]
        if legalCoord(newX,bdSize) and legalCoord(newY,bdSize):
            newMoves.append((newX,newY))
    return newMoves
def legalCoord(x,bdSize):#是否超出棋盘范围
    if x >= 0 and x < bdSize:
        return True
    else:
        return False

def knightTour(n,path,u,limit):
        kg.node[u]['color']='gray'#已遍历到此节点
        #u.setColor('gray')
        path.append(u)#加入到队列中
        if n < limit:#未搜索到一条可行路径
            nbrList = list(kg.neighbors(u))#下一个可搜索的节点集合
            i = 0
            done = False
            while i < len(nbrList) and not done:
                if kg.node[nbrList[i]]['color'] == 'white':#节点未经过
                    done = knightTour(n+1, path, nbrList[i], limit)
                i = i + 1
            if not done:  # prepare to backtrack
                path.pop()
                kg.node[u]['color']='white'#设置成未搜索
                #u.setColor('white')
        else:
            done = True
        return done

def orderByAvail(n):#排序，边少的点优先
    resList = []
    for v in kg.neighbors(n):
        if kg.node[v]['color'] == 'white':#计算未走过的节点的所连接边的个数
            c = 0#计数
            for w in kg.neighbors(v):
                if kg.node[w]['color'] == 'white':
                    c = c + 1
            resList.append((c,v))
    resList.sort(key=lambda x: x[0])#按边的个数从小到大排序
    return [y[1] for y in resList]
def knightTourBetter(n,path,u,limit):  #use order by available function
        kg.node[u]['color']='gray'
        #u.setColor('gray')
        path.append(u)
        if n < limit:
            nbrList = orderByAvail(u)
            i = 0
            done = False
            while i < len(nbrList) and not done:
                if kg.node[nbrList[i]]['color'] == 'white':
                    done = knightTourBetter(n+1, path, nbrList[i], limit)
                i = i + 1
            if not done:  # prepare to backtrack
                path.pop()
                kg.node[u]['color']='white'
        else:
            done = True
        return done
#n=int(input("棋盘大小:"))

n=6
kg = knightGraph(n)  #five by five solution
pos=[]
for i in range(n):
    for j in range(n):
        pos.append((i,j))
nx.draw(kg, pos, with_labels=True)#画出无向图
plt.show()

thepath = []#路径
for i in range(n*n):
    kg.node[i]['color'] = 'white'
start = 4#开始节点
knightTour(0,thepath,start,n*n-1)
print("可行路径为：")
for i in range(len(thepath)):#输出路径
    if i!=len(thepath)-1:
        print(thepath[i],end=' ->')
        kg[thepath[i]][thepath[i+1]]['color'] = 'blue'
    else:
        print(thepath[i])
nx.draw(kg,pos,with_labels=True,width=3,edge_color=[(v['color']) for x,y,v in kg.edges(data=True)])#
#走过的边为蓝色，没走过为黑色
#nx.draw_networkx(kg,pos,with_labels=True,edge_color='blue')
#nx.draw(kg,pos,with_labels=True,width=3,edge_color=(2,255,0))
plt.show()
#print(time.clock())
elapsed = (time.clock() - start1)
print("Time used:",elapsed)