内部排序 (二)：插入排序 (直接插入排序、折半插入排序、希尔排序)

作为数据结构的课程笔记，以便查阅。如有出错的地方，还请多多指正！

基本概念

• 内部排序：待排序记录存放在内存
• 外部排序：待排序记录数量很大，内存无法一次容纳全部记录，在排序过程中需要访问外存
• 稳定的/不稳定的排序方法

直接插入排序 Straight Insertion Sort

排序过程

思路：

• 将序列中第 1 个记录看成是一个有序子序列，然后从第 2 个记录开始，逐个进行插入，直至整个序列有序

具体实现：

• 待排序记录为R[i] ，将其与R[j] (j=i-1)进行比较——
  若R[i]≧R[j]——R[i]位置不变
  若R[i]——①将R[i]放在“监视哨”的位置；②R[j]后移，j--，直到R[0]≧R[j]；③将R[0]放置于R[j+1]的位置

算法实现

void Straight_insertion_sort(SqList_t* list)
{
	for (int i = 2; i <= list->len; ++i)
	{
		int j = i - 1;

		if (list->rec[i].key < list->rec[j].key)
		{
			list->rec[0] = list->rec[i];

			do {
				list->rec[j + 1] = list->rec[j];
				--j;
			} while (list->rec[j].key > list->rec[0].key);

			list->rec[j + 1] = list->rec[0];
		}
	}
}

算法评价

$T(n)$

若待排记录为从小到大排列 (正序)

• 比较次数：$n-1$
• 移动次数：$0$

若待排记录为从大到小排列

• 比较次数：${\sum }_{i=2}^{n}i=\frac{(n+2)(n-1)}{2}$
• 移动次数：${\sum }_{i=2}^n(i+1)=\frac{(n+4)(n-1)}{2}$

若待排序记录是随机的，取平均值

• 比较及移动次数均约为 $\frac{n^2}{4}$

$$\therefore T(n)=O(n^2)$$

$S(n)$

$$S(n)=O(1)$$

是否稳定

• 稳定

折半插入排序 Binary Insertion Sort

排序过程

思路：

• 由于直接插入排序的基本操作是在一个有序表中进行查找和插入，因此查找的过程可以用折半查找来实现

具体实现：

• 待排序记录为R[i]，将其与R[j] (j=i-1)进行比较：

若R[i]≧R[j]：R[i]位置不变
若R[i]：

• 将R[i]移至监视哨
• low=1，high=i-1，mid=(low+high)/2
• 将R[i]与R[mid]比较，进行折半查找，直到low>high。将i之前low及low之后的元素后移
• 将R[0]插入到low所指示的位置

算法实现

void Binary_insert(SqList_t* list, Rec_t* data, int len)
{
	int low = 1;
	int high = len - 1;
	int mid;

	while (low <= high)
	{
		mid = (low + high) / 2;

		if (list->rec[mid].key > (*data).key)  //注意使排序算法保持稳定性
		{
			high = mid - 1;
		}
		else {
			low = mid + 1;
		}
	}

	for (int i = len; i > low; --i)
	{
		list->rec[i] = list->rec[i - 1];
	}
	list->rec[low] = *data;
}

void Binary_insertion_sort(SqList_t* list)
{
	for (int i = 2; i <= list->len; ++i)
	{
		if (list->rec[i].key < list->rec[i - 1].key)
		{
			list->rec[0] = list->rec[i];
			Binary_insert(list, &list->rec[0], i);
		}
	}
}

算法评价

T(n)

减少了比较次数，但移动次数不变

$$\therefore T(n)=O(n^2)$$

S(n)

$$S(n)=O(1)$$

是否稳定

• 稳定

希尔排序 Shell Sort

排序过程

分析：

• 直接插入排序：当待排序列为正序时，时间复杂度可提高到 $O(n)$。待排序列基本有序 (满足 $R[i]\ge {max}_{1\le j<i}\{R[j]\}$ 的记录较多) 时，直接插入排序的效率会大大提高
• 直接插入排序 $O(n^2)$ 的时间复杂度，在 $n$ 很小时效率也比较高

思路：

• 因此，根据上述分析可以做出如下改进：先将整个待排序记录分割成若干个子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序

排序过程：

• 先取一个正整数 $d_1<n$，把所有相隔 $d_1$ 的记录放一组，组内进行直接插入排序
• 取$d_2<d_1$，重复上述分组和排序操作
• 取$d_3<d_2$，……，直至$d_t$=1，即所有记录放进一个组中排序为止
• 增量序列取法：$d_1>d_2>...>d_t=1$，且无除1以外的公因子
  

算法实现

//进行一趟插入排序
void Shell_insert(SqList_t* list, int d)
{
	for (int i = 1 + d; i <= list->len; ++i)
	{
		int j = i - d;

		if (list->rec[i].key < list->rec[j].key)
		{
			list->rec[0] = list->rec[i];

			do {
				list->rec[j + d] = list->rec[j];
				j -= d;
			} while (j > 0 && list->rec[j].key > list->rec[0].key);

			list->rec[j + d] = list->rec[0];
		}
	}
}

void Shell_sort(SqList_t* list)
{
	int d[] = { 5, 3, 1 };

	for (int i = 0; i < 3; ++i)
	{
		Shell_insert(list, d[i]);
	}
}

算法评价

$T(n)$

• $T(n)$ 为所取增量序列的函数。目前还没有求得一种最好的增量序列; 但有研究指出，增量序列为 $d_k=2^{t-k+1}-1$ ($t$ 为排序趟数) 时，$T(n)=O(n^{1.5})$；$T(n)$ 下界可达 $O(n{\log }_{2}n)$

$S(n)$

$$S(n)=O(1)$$

是否稳定

• 不稳定