python经典百题之是否为质数？

题目:判断一个数字是否为质数?

程序分析

判断一个数字是否为质数，可以采用以下思路：

• 质数是大于1的整数，只能被1和自身整除。
• 判断是否为质数，只需判断是否能被2到该数的平方根之间的整数整除即可，因为超过平方根的因数是重复的。

方法一：暴力检查法

解题思路

遍历2到该数的平方根之间的所有整数，检查是否能被该数整除。

代码实现

def is_prime_brute_force(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num**0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

优缺点

• 优点：简单直接，易于理解。
• 缺点：效率较低，时间复杂度为O(√n)，其中n是给定数字。

方法二：优化的暴力检查法

解题思路

对于一个数num，如果它不是质数，那么它一定可以分解成两个因数a和b，其中a和b至少一个小于或等于其平方根。因此，在遍历2到该数的平方根之间的整数时，可以优化为只检查小于或等于其平方根的整数。

代码实现

def is_prime_optimized_brute_force(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num**0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

优缺点

• 优点：减少了循环次数，效率略有提高。
• 缺点：仍然具有较高时间复杂度O(√n)。

方法三：埃拉托斯特尼筛法

解题思路

埃拉托斯特尼筛法是一种基于排除法的质数判定算法。该算法先假设所有数都是质数，然后从小到大遍历，将所有质数的倍数标记为非质数，最终剩下的未被标记的就是质数。

代码实现

def is_prime_sieve_of_eratosthenes(num):
    if num < 2:
        return False
    # Create a boolean array "prime[0..num]" and initialize all entries it as true.
    prime = [True] * (num + 1)
    p = 2
    while p * p <= num:
        # If prime[p] is not changed, then it is a prime.
        if prime[p]:
            # Update all multiples of p.
            for i in range(p * p, num + 1, p):
                prime[i] = False
        p += 1
    return prime[num]

优缺点

• 优点：较高效，时间复杂度为O(n log log n)，其中n是给定数字。
• 缺点：需要额外的空间来存储标记数组，空间复杂度为O(n)。

总结与推荐

• 方法三（埃拉托斯特尼筛法）是推荐的最佳方法，因为它具有较高的效率和合理的空间复杂度。
• 方法二（优化的暴力检查法）是一种简单的优化方法，但仍然具有较高的时间复杂度，不如埃拉托斯特尼筛法效率高。
• 方法一（暴力检查法）是最简单直接的方法，但效率较低，不适用于大数字的质数判定。