【图】普利姆算法(prim算法)基本思想

一、prim算法基本思想：

假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：

在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。

此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。

Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。

二、普利姆求最小生成树算法过程图解

第一步：随意选取起点

图中有9个顶点v1-v9，集合表示为：V={v1，....，V9}，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我们先随意选择一个顶点作为起始点（起始点的选取不会影响最小生成树结果），在此我们一般选择v1作为起始点，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边。

状态如下：U={v1}； TE={}；

第二步：在前一步的基础上寻找最小权值

查找一个顶点在U={v1}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v1-v8的权值最小为2，那么将v8加入到U集合，（v1，v8）加入到TE。

状态如下：U={v1，v8}； TE={（v1，v8）}；

第三步：继续寻找最小权值

查找一个顶点在U={v1，v8}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v8-v9的权值最小为4，那么将v9加入到U集合，（v8，v9）加入到TE。

状态如下：U={v1，v8，v9}； TE={（v1，v8），（v8，v9）}；

第四步：在前一步的基础上，继续寻找最小权值

查找一个顶点在U={v1，v8，v9}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v9-v2的权值最小为1，那么将v2加入到U集合，（v9，v2）加入到TE。

  状态如下：U={v1，v8，v9，v2}；

                   TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2）}；

第五步：继续在前一步的基础上，寻找最小权值

查找一个顶点在U={v1，v8，v9，v2}集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v2-v3的权值最小为3，那么将v3加入到U集合，（v2，v3）加入到TE。

状态如下：U={v1，v8，v9，v2，v3}；

                 TE={（v1，v8），（v8，v9），（v9，v2），（v2，v3）}；

第五~九步：继续在前一步的基础上，寻找最小权值

 如此循环一下直到找到所有顶点为止。到这大家应该对普利姆算法求解最小生成树的过程有所知晓，但需注意以下三点：

（1）每次都选取权值最小的边，但不能构成回路，构成环路的边则舍弃。如图中的（v1，v9），（v1，v2）等构成回路舍弃

（2）遇到权值相等，又均不构成回路的边，随意选择哪一条，均不影响生成树结果。如图中的（v3，v4），（v6，v5）权值均为9，选择哪一条在先均不影响最小生成树的生成结果。

（3）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点。

完整的算法步骤如图所示：

三、小结

（1）最小生成树（MST）是指权值最小的生成树。

（2）prim算法是求最小生成树的算法之一，其他算法还有kruskal算法

（3）其时间复杂度为O(n^2)，与边得数目无关。prim算法适合稠密图。

转载：https://jingyan.baidu.com/article/9113f81b6707c52b3214c794.html