高中奥数 2022-03-02

2022-03-02-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P025 习题01）

设,求证:

证明

记,,则,故原式左边-右边.

2022-03-02-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P026 习题02）

设,,求证:

证明

我们只需证明:.

当时,上式显然成立,当时,由二项式定理,


于是,显然有.

2022-03-02-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P026 习题03）

给定大于1的自然数、、,和是进制数,和是进制数,、、、定义为:


其中,.求证:当时,有.

证明

由于,,所以只需证,而

因为,故当时,,并且,,于是.

2022-03-02-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P026 习题04）

设,求证:

证明

反复利用,有


两边同除以不等式成立.