二分查找法-LeetCode第69题：x 的平方根

前言

……还是一个学生，做题解只是个人记录，代码有不少错误或纰漏之处，还望多多包涵。

题目描述

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:
输入: 4
输出: 2
示例 2:

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842…,
由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

第一次分析

计算平方根，看似比较简单的一道题，大体上可以想到思路为：从范围[1,x)中找到某个整数y，y的平方小于或等于x而y+1的平分大于x。
从一个有序序列中找一个数，我们自然而然地可以想到用二分查找法，但是有些细节问题需要考虑清楚。比如我们二分查找的循环条件一般是beg 首先，我们要记住mid的两种计算方式：

mid = (beg + end) / 2; //此时mid会选择靠向beg这一边
mid = (beg + end + 1) / 2; //此时mid会选择靠向end这一边

记住这两点后，我们开始思考如何获取最后的y呢？
我们可以换个思路，在循环时，我们希望beg指向平方比x小的数，end指向平方比x大的数。在结束前，我们希望的理想状态是，beg指向y，end指向y+1。
此时会有两种情况出现：
1.我们令mid向beg靠拢，则最后mid会指向beg，计算mid得到的平方值肯定会小于x，因此我们移动不了end，只能移动beg令其指向end从而跳出循环。
2.我们令mid向end靠拢，则最后mid会指向end，计算mid得到的平方值肯定会大于x，因此我们移动不了beg，只能移动end令其指向beg从而跳出循环。
对于第一种情况，最后得到的应该是平方大于x的值，即y+1，因此我们应该返回beg-1。
第二种情况，最后得到的应该是平方小于x的值，即y，因此我们返回beg。
上代码：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0 || x == 1) //判断特殊情况
            return x;
        int beg = 1, end = x,result;
        int mid = (beg + end) / 2;	//mid向beg靠拢
        while(beg < end)
        {
            result = mid * mid;
            if(result < x)  //beg向右侧靠拢，为最后指向end做准备
                beg = mid + 1;
            else if(result > x)
                end = mid;
            else  
                return mid;  //结果相等，直接返回mid
            mid = (beg + end) / 2;
        }
        return beg - 1;  //此时beg平方大于x，因此应该返回beg-1
    }
};

运行结果：

GG

第二次分析

为什么会出错？其实从报错提示来看已经很清楚了，没错，就是result溢出了。当我们的x很大时，初始mid值也会很大，这样的mid值相乘，肯定会造成溢出。
那可咋整呢？别急，我们可以把思维逆转过来，既然乘法会溢出，那用除法不就行了？我们用x除以mid，通过比较其与mid的大小作为二分条件。
这样就完了吗？还没有，还有个可能溢出的地方我们没有考虑到（没错，笔者又经历了一次执行错误），那就是初始的beg+end，也就是1+x。我们没有考虑到x是最大值的情况，这样1+x就溢出了。因此，虽然我们考虑的范围是[1,x)，但我们实际上应该使用的范围是(0，x)，从而保证其不溢出。其他操作和第一次分析一致。
代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0 || x == 1) //处理特殊情况
            return x;
        int beg = 0, end = x,result; //beg=0保证相加不溢出
        int mid =  (beg + end) / 2; //向beg靠拢
        while(beg < end)
        {
            result = x / mid; //防止溢出
            if(result == mid)
                return mid;
            if(result > mid)//beg向右侧靠拢，为最后指向end做准备
                beg = mid + 1;
            else
                end = mid;
            mid = (beg + end) / 2;
        }
        return beg - 1;//此时beg平方大于x，因此应该返回beg-1
    }
};

运行结果：

顺利通过，OK！
顺便一提，我们刚刚用的是第一种做法，即beg向end靠拢的，我们也可以使用第二种，即end向beg靠拢，这两种操作是等价的，代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0 || x == 1)//处理特殊情况
            return x;
        int beg = 0, end = x,result;
        int mid =  (beg + end ) / 2;//这里不+1向end靠拢，是为了防止溢出
        while(beg < end)
        {
            result = x / mid;
            if(result == mid)
                return mid;
            if(result > mid)
                beg = mid ;
            else
                end = mid - 1;//end向左侧靠拢，为最后指向beg做准备
            mid = (beg + end + 1) / 2;//向end靠拢
        }
        return beg ;
    }
};

运行结果：

顺利通过，OK！