Chapter 3 The Forecaster's Toolbox
3.1 简单预测法：
1. Average Methond 平均法：预测未来值等于历史值的平均值
meanf(y,h)
# y contains the time series
# h is the forecast horizon
2. Naive Method 傻瓜法：预测未来值等于最后一个样本【对经济、金融时间序列适用】，也称作random walk forecasts
naive(y,h)
rwf(y,h)#####y为时间序列，h为预测周期
【补充小知识：ARIMA模型】
ARIMA模型（英语：Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。https://baike.baidu.com/item/ARIMA%E6%A8%A1%E5%9E%8B/10611682?fr=aladdin
3. Seasonal naive method 季节性傻瓜法：适用于强季节性数据，取同上一年同季节的最后一个观测值。
snaive(y,h)
4. Drift method 趋势|漂流法：在傻瓜法的基础上增加一个变量使预测值随着时间变化增加或减少，变量值为历史变量的平均值。
rwf(y,h,drift=TRUE)
例子：
a. 应用前三种方法看季节性啤酒产量的预测数据
beer2<-window(ausbeer,start=1992,end=c(2007,4))
autoplot(beer2)+
autolayer(meanf(beer2,h=11),series = "Mean", PI=FALSE)+
autolayer(naive(beer2,h=11),series = "Naive", PI=FALSE)+
autolayer(snaive(beer2,h=11),series = "Seasonal Naive", PI=FALSE)+
ggtitle("Forecasts for quarterly beer production")+
xlab("Year")+ylab("Megalitres")+
guides(colour=guide_legend(tittle="Forecst"))
b. 非季节性方式预测谷歌每日收盘股价
autoplot(goog200)+
autolayer(meanf(goog200,h=40),series="Mean",PI=FALSE)+
autolayer(rwf(goog200,h=40),series = "Naive",PI=FALSE)+ autolayer(rwf(goog200,drift=TRUE,h=40),series = "Drift",PI=FALSE)+
ggtitle("Google stock (daily ending 6 Dec 2013)")+
xlab("Day")+ylab("Closing Price (US$)")+
guides(colour=guide_legend(title="Forecast"))
这些简单的办法通常是被作为benchmarks而非实际选择的方式。
3.2 Transformation and adjustments 转换和调整
通过调整历史数据可以简化预测工作。以下有四种数据调整方式：
Calendar adjustments 日历调整
>monthdays() 可以计算每个月或季度的天数
dframe<-cbind(Monthly=milk,DailyAverage=milk/monthdays(milk))
autoplot(dframe,facet=TRUE)
+ xlab("Years")+ylab("Pounds")
+ ggtitle("Milk production per cow")
Population adjustments 人数调整
对任何受人数影响的数据都可以调整为人均值(per-capita data)。例如考虑某地医疗资源的变化情况，可以看每千人床位数的变化，如此可以看是否是真的资源增长还是仅由于当地总人口增加。
Inflation adjustments 通货膨胀调整
受金钱影响的数据最好在建模前进行调整。例如平均新房费用会由于过去几十年的通货膨胀而增长。为了做此调整需用到price index(物价指数)————参考cpi
Mathematical transformations 数学转换
当数据呈现出序列级上升或下降的变化时，则需要进行数学转换。
1. 取对数
2. 幂变换(power transformation)：平方根|立方根
3. Box-cox transformation
选定转换方式后，完成对模型数据的预测，需要即将预测结果在反向转换为真实数据。反向box-cox转换公式：
幂变换的特点：
1. 原始变量需大于0，若小于0则应对所有变量加一个常数使得yt大于0。
2. 选择简单的λ值，便于理解
3. 预测结果与λ的值相关性较小
4. 通常不需要转换，转换后对预测结果影响不大，但对于预测区间有较大影响
Bias adjustments 偏值调整
通过数学转化预测后反转的预测值不是预测分布的均值，通常是中位数。（例如，当需要将不同地区的销售预测值加总预估整个国家的预估值时，只能用均值加总而不能用中位数加总）。对于box-cox转换，均值的反转公式为
中位数和均值间的差异即为bias(偏差值)，当需要用均值而非中位数时，我们说某一时点的预估值已经进行过偏值调整。
3.3 Residual Diagnostics 残值诊断
Fitted values 拟合值
Residuals 残值
对于大多数时间序列模型，残值是实际值与拟合值之间的差值，可用来检测模型是否足够抓住了数据的信息。好的预测模型的残值有以下两个特点：1. 残值不相关【不相关证明残值中还有应该用于预估的信息，解决方式见chapter9】；2. 均值为0【不为0证明预估值时有偏差的，如偏差值为m，则解决方案是对所有预估值加偏差值m】；3. 有连续变量；4. 符合正态分布。
Portmanteau tests for autocorrelation 自相关检验
1. Box-Pierce test
2. Ljung-Box test
checkresiduals()可用于检测残值情况
3.4 Evaluating forecast accuracy 评估预测准确性
通常在选择模型时会预留出两组，分为实验组(test)和训练组(training)，训练组(training)是用来预估预测方法的准确性。通常实验组的大小是总样本的20%。理想状态下，实验组应该至少覆盖所预估的最远时段，但仍需注意：1. 能很好的拟合训练集的模型并不一定能很好的做预测；2. 最佳组合的模型应该满足包含足够的变量；3. 过度拟合模型和未能判别系统性pattern一样失败。
Functions to subset a time series 分组时间序列的函数
1. window()，可以用于提取部分时间序列
2. subset()，可以通过索引去选择分组
3.head()| tail()，可以取前几个或后几个观测值
Forecast errors 预估偏差
预估偏差指预估值与实际值之间的差值。，其中训练集(training data)数据为，测试集(test data)数据为。
预估偏差和残值的差异：1.残值是基于训练集计算的，而预估偏差是基于测试集计算的；2. 残值是基于一步测算(one-step forecast)的，而预估偏差则是涉及到多步预估(multi-step forecasts)
Scale-dependent errors 规模性偏差
最常用的两个规模性检验是基于绝对偏差或平方偏差：
1. MAE（Mean absolute error）平均绝对偏差=
,范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0，即完美模型；误差越大，该值越大。
2. RMSE（Root mean squared error）均方根偏差=
，范围[0,+∞)，当预测值与真实值完全吻合时等于0，即完美模型；误差越大，该值越大。
通常比较一个单一时间序列预估方式或同单位下的几个时间序列，会选择用MAE。降低MAE的方法可预估中位数，降低RMSE则可预估平均值。
Percentage errors 百分比偏差
，不需考虑单位，因而常被用于比较不同数据集中的预测表现。常用的方式是：
MAPE（Mean absolute percentage error）平均绝对百分比误差=
,范围[0,+∞)，MAPE 为0%表示完美模型，MAPE 大于 100 %则表示劣质模型。
可以看到，MAPE跟MAE很像，就是多了个分母，注意点：当真实值有数据等于0时，存在分母0除问题，该公式不可用！
由于其对负偏差的惩罚更高，因而又引入了：
sMAPE（symmetric MAPE）对称平均绝对百分比误差=
注意点：当真实值有数据等于0，而预测值也等于0时，存在分母0除问题，该公式不可用！
Scaled errors 比例偏差
用于比较不同单位的不同序列的预估效果。
·非季节性时间序列，一个通用的方式是运用naive forecast的方式定义一个比例偏差值：，当qj小于1时，则该方法比基于训练集用naive forecast计算的值要更优，反之当qj大于1时则更差。
·季节性时间序列，是运用seasonal forecast的方式定义比例偏差：
MASE（Mean absolute scaled）=
【预估评价指标：预测评价指标RMSE、MSE、MAE、MAPE、SMAPE_人工智能_藏知阁-CSDN博客】
####example
accuracy() ：Returns range of summary measures of the forecast accuracy. If x is provided, the function measures test set forecast accuracy based on x-f. If x is not provided, the function only produces training set accuracy measures of the forecasts based on f["x"]-fitted(f). All measures are defined and discussed in Hyndman and Koehler (2006).
Time series cross-validation 时间序列交叉验证
tsCV()可以用来做时间序列交叉验证
【参考天元大神的小笔记：R语言时间序列分析（七）：模型准确度估计 - 知乎】
3.5 Prediction Intervals 预测区间
预测区间的通用公式：
是h-step预估值的正态分布的预计值，c的对应关系是：
###R中forecast包里常用函数：