【管理运筹学】第 8 章 | 动态规划（3，资源分配问题）
文章目录
- 引言
- 三、资源分配问题
-
- 3.1 一维离散资源分配问题
- 3.2 一维连续资源分配问题
- 3.3 二维资源分配问题
- 写在最后
引言
承接系列前文，有了对动态规划的基本认识，我们接下来就来对资源分配问题进行动态规划具体建模分析。
三、资源分配问题
所谓资源分配问题，就是将数量一定的一种或若干资源（例如原材料、资金、机器设备、劳力、食品等），恰当地分配给若干个使用者，使得目标函数达到最优。
3.1 一维离散资源分配问题
设有某种原料，总数量为 a a a ，用于生产 n n n 种产品。若分配数量 x i x_i xi 用于生产第 i i i 种产品，其收益为 g i ( x i ) g_i(x_i) gi(xi) 。问应如何分配，能使得生产这 n n n 种产品的总收入最大？
易得此问题可以写成如下规划问题： max z = g 1 ( x 1 ) + g 2 ( x 2 ) + ⋯ + g n ( x n ) \max z=g_1(x_1)+g_2(x_2)+\cdots+g_n(x_n) maxz=g1(x1)+g2(x2)+⋯+gn(xn) s . t . { x 1 + x 2 + ⋯ + x n = a x i ≥ 0 ， i = 1 , 2 , ⋯ , n s.t.\begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=a \\ x_i \geq 0，i=1,2,\cdots,n \end{cases} s.t.{x1+x2+⋯+xn=axi≥0，i=1,2,⋯,n 当收益函数 g i ( x i ) g_i(x_i) gi(xi) 均为线性函数时，该问题是一个线性规划问题，可以利用单纯形法进行求解；当收益函数为非线性函数时，问题变为一个非线性规划问题，我们并没有要求掌握其解法。
由于这类问题的特殊结构，可以将它看作是一个多阶段决策问题，利用我们刚学习的动态规划方法进行求解。对于此类资源分配问题，通常以把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段，将问题中的 x i x_i xi 作为决策变量，将累计的量或随递推过程变化的量选为状态变量。
此题中，可设状态变量 s k s_k sk 表示分配用于生产第 k k k 种至第 n n n 种产品的原料总数量（也即此时剩余的总可用资源数量），决策变量 u k u_k uk 表示分配给生产第 k k k 种产品的原料数，有 u k = x k u_k=x_k uk=xk 。则可得到状态转移方程为： s k + 1 = s k − u k = s k − x k s_{k+1}=s_k-u_k=s_k-x_k sk+1=sk−uk=sk−xk ，允许决策集合： D k ( s k ) = { u k ∣ 0 ≤ u k = x k ≤ s k } D_k(s_k)=\{u_k|0\leq u_k=x_k \leq s_k\} Dk(sk)={uk∣0≤uk=xk≤sk} 令最优值函数 f k ( s k ) f_k(s_k) fk(sk) 表示以数量 s k s_k sk 的原料分配给第 k k k 种产品至第 n n n 种产品所得到的最大总收入，可写出动态规划的逆推关系式为： { f k ( s k ) = max { g k ( s k ) + f k + 1 ( s k − x k ) } ， k = n − 1 , ⋯ , 2 , 1 f n ( s n ) = m a x { g n ( s n ) } f n + 1 ( s n + 1 ) = 0 ，边界条件 \begin{cases} f_k(s_k)=\max\{g_k(s_k)+f_{k+1}(s_k-x_k)\}，k=n-1,\cdots,2,1 \\ f_n(s_n)=max\{g_n(s_n)\} \\ f_{n+1}(s_{n+1})=0，边界条件 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧fk(sk)=max{gk(sk)+fk+1(sk−xk)}，k=n−1,⋯,2,1fn(sn)=max{gn(sn)}fn+1(sn+1)=0，边界条件 最后求得的 f 1 ( a ) f_1(a) f1(a) 即为问题所求的最大总收入，具体最优生产计划可以按照 x 1 ∗ x_1^* x1∗ 进行推算，第一阶段采用 x 1 ∗ x_1* x1∗ ，则第二阶段 s 2 = s 1 − x 1 ∗ s_2=s_1-x_1^* s2=s1−x1∗ ，可找出 s 2 ∗ s_2^* s2∗ ，依次类推。
利用动态规划解法还有一个好处就是，当资源数量减少后，不用重新计算，只需修改最后一个阶段的分配情况即可。
这种指将资源合理分配，而不进行回收的问题，又被称为资源平行分配问题。
3.2 一维连续资源分配问题
在资源分配中考虑资源回收利用，决策变量为连续值的问题称为资源连续分配问题，其一般叙述如下：
设有数量为 s 1 s_1 s1 的某种资源，可投入 A , B A,B A,B 两种生产。第 1 年若以数量 u 1 u_1 u1 投入生产 A A A ，剩下的量 s 1 − u 1 s_1-u_1 s1−u1 就投入生产 B B B ，则可得收入为 g ( u 1 ) + h ( s 1 − u 1 ) g(u_1)+h(s_1-u_1) g(u1)+h(s1−u1) ，其中 g , h g,h g,h 为已知收益函数，且 g ( 0 ) = h ( 0 ) = 0 g(0)=h(0)=0 g(0)=h(0)=0 。这种资源在投入 A , B A,B A,B 生产后，年终还可回收再投入生产。
设年回收率分别为 a , b ( a , b ∈ ( 0 , 1 ) ) a,b(a,b\in(0,1)) a,b(a,b∈(0,1)) ，则在第 1 年生产后，回收的资源量合计为 s 2 = a u 1 + b ( s 1 − u 1 ) s_2=au_1+b(s_1-u_1) s2=au1+b(s1−u1) 。第二年可将 s 2 s_2 s2 中的 u 2 u_2 u2 和 s 2 − u 2 s_2-u_2 s2−u2 分别再投入 A , B A,B A,B 两种生产，年末又可以得到收入 g ( u 2 ) + h ( s 2 − u 2 ) g(u_2)+h(s_2-u_2) g(u2)+h(s2−u2) 。如此继续进行 n n n 年，问：应该如何决定每年投入 A A A 生产的资源量 u 1 , u 2 , ⋯ , u n u_1,u_2,\cdots,u_n u1,u2,⋯,un ，使得总的收入最大？
类比离散资源分配问题的处理手法进行处理，记 s k s_k sk 为状态变量，表示第 k k k 阶段（第 k k k 年）可用于投入两种生产的资源总量。 u k u_k uk 为决策变量，表示第 k k k 阶段（第 k k k 年）用于 A A A 生产的资源量，则 s k − u k s_k-u_k sk−uk 表示用于 B B B 生产的资源量。状态转移方程为： s k + 1 = a u k + b ( s k − u k ) s_{k+1}=au_k+b(s_k-u_k) sk+1=auk+b(sk−uk) 最优值函数 f k ( s k ) f_k(s_k) fk(sk) 表示第 k k k 阶段至第 n n n 阶段采取最优分配方案进行生产后所得到的最大总收入。则逆推关系式为： { f k ( s k ) = max { g ( u k ) + h ( s k − u k ) + f k + 1 ( s k + 1 ) } ， k = n , n − 1 , ⋯ , 2 , 1 f n + 1 ( s n + 1 ) = 0 ，边界条件 \begin{cases} f_k(s_k)=\max\{g(u_k)+h(s_k-u_k)+f_{k+1}(s_{k+1})\}，k=n,n-1,\cdots,2,1 \\ f_{n+1}(s_{n+1})=0，边界条件 \end{cases} {fk(sk)=max{g(uk)+h(sk−uk)+fk+1(sk+1)}，k=n,n−1,⋯,2,1fn+1(sn+1)=0，边界条件 最后所求 f 1 ( s 1 ) f_1(s_1) f1(s1) 即为所求问题最大总收入。
3.3 二维资源分配问题
看了下书，没有算例，难度应该不小，很可能考试是不涉及的，我就先留着吧。
写在最后
如果能从实际问题中，找到适合建立动态规划模型的状态量、转移方程和指标函数，那么，按照我们前面的动态规划模型求解办法，是可以按部就班顺利解决的。
对于连续和离散两种类型的资源分配问题，它们的建模思想很类似，但是要注意一些细节。下一篇文章，我们来说一说生产与储存问题。