力扣Hot100-5最长回文子串【动规五步法】

力扣Hot100-5 最长回文子串

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原题目

题目地址：5. 最长回文子串

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

考查知识点

动态递归

好的解法

以往动态递归的题目中，题目给出一维环境（如斐波那契数），dp数组就是一维数组，题目是二维环境（矩阵路径），dp数组就是二维数组

这道题解剑走偏锋，环境是一维（字符串），dp数组却是二维的

对于动态规划，先用【动规五步法】来分析：

1、确定dp数组及下标含义：dp[i][j]表示字符串s的第i个字母到第j个字母组成的子串；dp[i] [j] = 1表示该子串是回文串，值为0表示其他情况（有两种可能，s[i] [j]不是回文串 || i > j， 此时s[i] [j]不合法）

2、确定递推公式：一个回文串必然是关于中心对称的，只有 s[i+1:j-1]（更小范围上的dp[i] [j]）是回文串，并且 s 的第 i 和 j个字母相同时，s[i:j]才会是回文串。递推公式为：dp[i][j] = (dp[i+1][j-1] && s[i] == s[j])

3、确定dp数组初始化：当回文串长度为0（代表只有一个字符）时，也算是特殊的回文串，dp[i] [j] = 1；当回文串长度是1（代表有两个字符）时，只要这两个字符相等，那么也是回文串dp[i] [j] = 1

4、确定dp数组遍历顺序：题解中使用的遍历顺序很新，一般来说二维dp数组都是从左到右、从上到下来遍历，但是字符串是一位的，在一维环境中使用二维dp数组，这里就给出了一种以前没见过的遍历顺序。先遍历子串长度，再遍历子串左起始位置。

5、举例推导dp数组

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class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        // dp[left][right]标记从i到j是否是字串
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        string ans;
        // length表示判断的字串的长度
        // left表示字串的左边起始位置
        // right表示字串的右边起始位置
        for(int length = 0; length < n; length++){
            for(int left = 0; left + length < n; left++){
                int right = left + length;
                // 即字符串长度为1时，矩阵对角线
                if(length == 0) dp[left][right] = 1;
                    // 字符串长度为2的时候，只需判断两者是否相等
                else if(length == 1) dp[left][right] = (s[left] == s[right]);
                else{  // 字符串长度大于等于3之后
                    // 其是否是回文串取决于当前left和right及更小一号的字符串
                    // 更新参考值为矩阵的左下方
                    dp[left][right] = (s[left] == s[right] && dp[left + 1][right - 1]);
                }
                // 如果当前left位置到right位置的字串能够构成回文串，并且现在长度+1后大于之前记忆中的子回文串的长度，那么更新回文串！
                // 这里也可以优化成记录起始位置和长度的两个int，返回时再截取
                if(dp[left][right] && (length + 1) > ans.size()){
                    ans = s.substr(left, length + 1);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};