Jensen不等式

$Jensen$不等式是一个在概率论和数学分析中非常重要的不等式，它描述了凸函数和随机变量之间的关系。具体来说，$Jensen$不等式表明对于一个凸函数$f(x)$，其期望值大于等于用随机变量 X 的期望值作为参数的 $f$ 函数的期望值。

数学表达式为：
$$E[f(X)]\ge f(E[X])$$

这个不等式的直观理解是，如果我们有一个凸函数 $f(x)$ 和一个随机变量 $X$，那么将 X 的期望值输入到 $f$ 函数中，然后取期望值，结果不会小于将 $X$ 本身输入到 $f$ 函数中然后再取期望值。

这个不等式的直观理解可以用一个简单的例子来说明：

假设 X 是一个随机变量，它的可能取值是1和2，每个取值的概率都是1/2。现在考虑一个凸函数 $f(x)=x^2$。

首先，计算 X 的期望值 E[X]：
$$E[X]=(1\ast 1/2)+(2\ast 1/2)=3/2$$

然后，计算 f(X) 的期望值 E[f(X)]：
$$E[f(X)]=(1^2\ast 1/2)+(2^2\ast 1/2)=5/2$$

现在，应用 Jensen 不等式：
$$E[f(X)]\ge f(E[X])$$
$$5/2\ge (3/2{)}^2=9/4$$

可以看到，$Jensen$ 不等式成立，因为左边的期望值 $E[f(X)]$ 大于等于右边 $f(E[X])$。这个例子中，我们使用了一个凸函数 $f(x)=x^2$ 和一个简单的离散随机变量 $X$来说明 $Jensen$ 不等式的基本概念。

总之，$Jensen$ 不等式是一个有用的不等式，它帮助我们理解凸函数和随机变量之间的关系，以及在概率论和数学分析中的一些应用。