根号2是无理数的两种证明以及如何计算根号2的值

证明根号2为无理数:

大家还记得第一次数学危机的根结吗?

古希腊人相信任何数都可以表示为两个数的比值,也就是说,根据欧几里得的辗转相除算法,只要不断截取线段,总有一次可以截到两条线段一样长。

但后来希帕索斯证明了有一种数是无法用两个数的比值表示的,那就是无理数

法一:

根号2是无理数的两种证明以及如何计算根号2的值_第1张图片

他先用一个等腰直角三角形,用斜边和直角边的比值来表示根号二。根号2是无理数的两种证明以及如何计算根号2的值_第2张图片

接着画了一条∠A的角平分线AD,过点D做DE⊥AC,这样AB的长度就可以用AE来替换。

根号2是无理数的两种证明以及如何计算根号2的值_第3张图片

根据欧几里得的辗转相除法,原本是AC:AB,现在AC-AE=CE,就变成了AB:CE。

又因为这是等腰三角形,所以AB=BC,就将AB:CE变成了BC:CE。

接着,我们再用一次辗转相除法,把BC-CE,易得CE=DE=BD,所以BC-CE就等于BC-BD=DC。

做到这里,我们可以发现,一开始的AB:AC最终变成了CE:CD,正好也是一个等腰直角三角形的直角边比斜边。

根号2是无理数的两种证明以及如何计算根号2的值_第4张图片

嗯?开始循环了,这样一直辗转相除下去,会一直是直角边比斜边。

希帕索斯于是立刻意识到,这个过程无穷无尽,永远无法变成一个比值,所以根号2无法用两个整数的比值表示。

法二:

第二种是我们用的较多的反证法

假设\sqrt{2}是有理数,那它一定可以用两个整数的比值表示;

那么\sqrt{2}=\frac{q}{p},其中q和p互质,p\neq 0

两边平方后得:q^{2}=2p^{2},所以q是偶数,设q=2k;

代入化简后得到:p^{2}=2k^{2},由此得出,p也是偶数;

p和q均为偶数,与p、q互质矛盾;

所以假设不成立,\sqrt{2}为无理数。


计算根号2的值:

法一:

首先我们可以写出一个作为基准的公式:(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1

根据这个公式,我们进行变式:

\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}

左边的根号2就是我们要求的量,我们再将右式不断细化,把根号2代入右式:

\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}

如果继续推导,可以得出:

\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}+1}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}

这种方式叫做连分数法,这样不断细化,就可以得出更精确的根号2的值。

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