高中奥数 2021-10-14

2021-10-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P071 例9）

如图,为圆的直径,直线切于.、、在上满足,又设、交于、,切线、交于.求证:在上.

图1

证明

连结、,设交于,连结、.

在与中用正弦定理得

.

于是.

注意到.

故,.

则.(1)

另一方面,易知,.

因此.

.(2)

由(1)(2)两式知.

又.

由上式易知.

(事实上,上式等价于.)

所以、、三点共线,得证.

2021-10-14-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P072 例10）

已知锐角三角形,是高,点是中点.过点的直线分别交射线、于点、,且.求证:若的外心为点,则.

证明

如图,不妨设,易知此时点在上,点在延长线上.

图2

由正弦定理知

,

由对顶角相等及,得

,

即.

这样一来,便有

,,

延长交外接圆于点,则点为中点.

若设外接圆半径为,则,于是

这表明,点为中点.

又因为,,故点在的中垂线上.

故.

2021-10-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P073 例11）

如图,已知,,,且,内切圆与、分别切于、.设是内心.证明,平分线段.

图3

证明

设为内心,,连结、、、、.

设内切圆半径为,三内角为、、.

由于且,

,

.

(这里用到、、三点共线)

所以.

到的距离,到的距离为.

而平分到的距离到的距离

.(1)

(1)式左边(1)式右边.

故平分,证毕.