高等数学笔记：已知通解的微分方程

已知通解的微分方程-朗斯基行列式

01 理论基础

(1) $n$ 阶形式

• 对于 $n$ 阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y,y_1,y_2,\cdots ,y_n$ 线性相关，即： ∣ y y 1 ⋯ y n y ′ y 1 ′    ⋮    ⋮ ⋱ y n ( n − 1 ) y ( n ) ⋯ y n − 1 ( n ) y n ( n ) ∣ = 0 \displaystyle{\left|\begin{array}{lll} y & y_1 & \cdots & y_{n}\\ y' & y_1' & & \ \ \vdots\\ \ \ \vdots & & \ddots & y_{n}^{(n-1)} \\ y^{(n)} & \cdots & y_{n-1}^{(n)} & y_{n}^{(n)} \end{array}\right|=0} ​yy′  ⋮y(n)​y1​y1′​⋯​⋯⋱yn−1(n)​​yn​  ⋮yn(n−1)​yn(n)​​ ​=0 .

(2) 二阶形式

• 对于二阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，
• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$ 线性相关，即： ∣ y y 1 y 2 y ′ y 1 ′ y 2 ′ y ′ ′ y 1 ′ ′ y 2 ′ ′ ∣ = 0 \displaystyle{\left|\begin{array}{ll} y & y_1 & y_2 \\ y' & y_1' & y_2' \\ y'' & y_1'' & y_2'' \end{array}\right|=0} ​yy′y′′​y1​y1′​y1′′​​y2​y2′​y2′′​​ ​=0 .

(3) 三阶形式

• 对于三阶微分齐次方程，它的通解为 $C_1{y}_1+C_2{y}_2+C_3{y}_3$，设 $y$ 为该齐次方程的任意解，

• 那么显然有 $y$，$y_1$，$y_2$，$y_3$ 线性相关，即： ∣ y y 1 y 2 y 3 y ′ y 1 ′ y 2 ′ y 3 ′ y ′ ′ y 1 ′ ′ y 2 ′ ′ y 3 ′ ′ y ′ ′ ′ y 1 ′ ′ ′ y 2 ′ ′ ′ y 3 ′ ′ ′ ∣ = 0 \displaystyle{\left|\begin{array}{ll} y & y_1 & y_2 & y_3 \\ y' & y_1' & y_2'& y_3' \\ y'' & y_1'' & y_2''& y_3'' \\ y''' & y_1''' & y_2''' & y_3''' \end{array}\right|=0} ​yy′y′′y′′′​y1​y1′​y1′′​y1′′′​​y2​y2′​y2′′​y2′′′​​y3​y3′​y3′′​y3′′′​​ ​=0 .

02 例题解析

• 已知 $y_1=3$，$y_2=3+x^2$，$y_3=3+e^x$ 是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解。

• 答案：$\left(2x-x^2\right)y^{\prime \prime }+\left(x^2-2\right)y^{\prime }+2(1-x)y=6(1-x)$ .