Deep Learning|神经网络原理学习笔记(5) ：随机梯度下降算法SGD（附手绘图）、离线学习与在线学习

快开学了，今天一天都静不下心。不如趁着美好的黄昏来更一篇叭。（写了整整一晚上也是没谁了）

惯例推音乐：今天是一首温柔的迷幻摇滚，我正在摇头晃脑的写
希望听到这首歌的盆友们也能摇头晃脑的看完这篇博客(´^`)
歌手：椅子乐团 The Chairs
歌名：Rollin’ On

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1.真实模型的梯度更新规则

在上一篇里我们说到如何用$v$来代替所有自变量，那么用$v$表示的模型看懂了，我们就可以把男女主角权重$w$和偏置$b$换上场了。还记得上次的式子吗？

我们将这个式子描述为位置变量$v$的变化，现在将位置变量$v_j$分解为两个分量，即$w_k$和$b_l$。
因此梯度向量$▽C$也就有了相应的分量，即$\partial C/\partial w_k$和$\partial C/\partial b_l$。
我们用这些分量，模仿$v$来写$w_k$和$b_l$的更新规则。

梯度下降算法在神经网络中使用的原理，就是利用算法去寻找能使代价函数$C$取得最小值的权重$w$和偏置$b$。利用上面的两条更新规则，我们就可以找到让小球沿曲面滚到最低点的路线。也就会找到$C$的最小值。

2.训练中的问题

在上次，我们说到代价函数的一种类型——二次代价函数。

拆解一下，对于每个样本，我们需要计算代价：

然后再对所有样本的代价求平均：

对求总梯度也有一样的变化：我们需要对每个样本x单独计算梯度值$▽C_x$，再计算总的梯度，也就是求所有样本梯度的平均值。

这个过程大概是这样的：
有好多好多样本$x$——对每个样本都要计算一个代价函数最小值$C_x$——继而需要对每个样本计算$▽C_x$以更新$C_x$——而计算每个 $▽C_x$会对应计算对所有$w_k$和$b_l$的偏导——再用所有样本的$C_x$对$w_k$的偏导求平均带入式来更新$w_k$，对$b_l$做同理运算。不断更新最终得到最优的$w_k$和$b_l$。这个过程在样本数少的时候还好说，当样本数很多时，计算量将会非常大也会消耗很多时间，学习过程就会十分缓慢。

因此在学习中，最常用的是加入了batch和epoch概念的随机梯度下降算法。可以理解为梯度下降算法的升级版。

3.随机梯度下降算法

随机梯度下降算法可以加速学习。其算法思想是从整个训练集中，随机选一小组共$m$个输入样本来计算$▽C_x$。随机抽取的$m$个输入我们按顺序标号，将他们成为一个mini-batch。
由于这些输入都是随机抽取的，我们认为其可以近似估计整个数据集的$▽C$。也就有这样一个近似：

左边是我们对一个mini-batch计算得到的近似$▽C$，中间和右边是真实的$▽C$。其实本质上还是一样的，不管用多少个样本求了多少个$▽C_x$，算$▽C$时总是用所有$▽C_x$的和除以样本个数来求平均。就像我们高中生物要求一个池塘有多少红蛤蟆和绿蛤蟆，不能把几万只全捉来，就随机捉个100只看看红绿的比例。这里也是一样的，我们将$▽C$这个平均值求出来看看是不是已经很小了。
去掉中间可以写成：

由此我们就可以用小样本来完成对整体梯度的估计。
权重的偏置的更新就可以表达为：

注意这里每更新一次某个$w$或$b$，就需要求出这个mini-batch中所有$C_{X_j}$对它的偏导再求和。也就是上面的求和符号，是在当前mini-batch中所有的训练样本上进行的。

我用很傻的方式裂 列了一下，大概就酱紫：

所以说有了mini-batch，计算量是明显减少了啊。
我们计算的目的是决定在某个方向上移动来减少$C$,因此我们不需要每次计算得那么精确，梯度的只要能告诉我们方向就足够了。

3.epoch迭代期

我们当然不是选了一个mini-batch计算完就完事了。当计算完一个mini-batch，我们会选取另一个随机选定的mini-batch继续训练。直到用完了所有输入，这就叫做完成了一个训练迭代期epoch。一般训练中会设置很多个epoch。

4.离线学习与在线学习

这里顺便说一下离线训练和在线训练。

离线训练，就是每次用一堆输入样本$x$来训练，比如用所有样本来训练，更新每个$w$,又或者用一小部分，也就是mini-batch来训练。
在线训练，就是每次只用一个样本来训练，可以理解为这个mini-batch的大小为1。

离线训练一般用在我们对大批数据进行学习的过程中。而在线训练就比如说，小绿同学登上某个购物网站，这个网站根据小绿这个人的购物行为对进行用户分析和定向推送，小绿就是本次训练的一个样本。用训练好的模型对他进行分析就是一个在线训练。