【动态规划】leetcode62.不同路径

题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

解答：
方法一：动态规划

时间复杂度：O(mn）
空间复杂度：O(mn)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        #dp[i][j]:从(0,0)走到(i,j)的路径数量
        dp=[[0]*n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            dp[i][0]=1
        for j in range(n):
            dp[0][j]=1
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        return dp[m-1][n-1]
        

方法二：优化，每次只用到了两行数据，且遍历顺序为从左到右，故可仅使用一维数组即可。

时间复杂度：O(m*n)
空间复杂度：O(n)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp=[1]*n
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[j]+=dp[j-1]
        return dp[n-1]

方法三：递归，超时

二叉树的深度：m+n-1
时间复杂度：O( 2^(m + n - 1) - 1)

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        def dfs(i,j):
            if i>m or j>n:
                return 0
            if i==m and j==n:
                return 1
            return dfs(i+1,j)+dfs(i,j+1)
        return dfs(1,1)