高中奥数 2021-09-20

2021-09-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P046 习题15）

如图,在锐角中,,为边的中点,的外角平分线交直线于点.点、在直线上,使得,.求证:.(2010女子数学奥林匹克)

证明

如图,设的外接圆交直线于点,交于点.

图1

易知平分.

所以,,.

故.

因为,所以,、、、四点共圆,有.

又,则、、、四点共圆.

故、、、、五点共圆.

根据圆幂定理得.(1)

对利用射影定理得.(2)

(2)-(1)得.

因为,所以,结论成立.

2021-09-20-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P046 习题16）

已知圆、圆分别是的外接圆和内切圆.证明:过圆上的任意点,都可以作一个三角形,使得圆圆分别是的外接圆和内切圆(2009中国第六届东南地区数学奥林匹克)

图2

证明

如图,设,,分别是的外接圆和内切圆半径,延长交圆于K,则,,延长交于、;则,即.(注:这实际上是所谓欧拉公式)

过分别作的切线,,,在上,连结,则平分,只要证也与.

设,则是的中点,连,则,,,所以,由于在角的平分线上,因此点是的内心,(这是由于,,而,所以,点是的内心)即弦与相切.