注意: 以下"已经排好序的有序表"定义为从小到大排列的有序序列,即升序序列。如果想将代码应用到"从大到小"排列的有序序列,即降序序列,需要将以下代码中if语句中的内容与else语句中的内容调换,再把return语句的left
和right
互换。比如在下面的升序序列的二分查找的基本形式的代码中,把right = mid - 1;
与left = mid + 1;
互换,即可得到降序序列的二分查找的基本形式。
通常,在已经排好序的顺序表上应用"二分查找"查找是否存在某个元素的时间复杂度为 O ( l o g ( n ) ) O(log(n)) O(log(n)),其基本形式如下:
// java代码
public int searchBin(int[] nums, int target) {
// 在有序表nums中二分查找其关键字等于target的数据元素。若找到,则函数返回值为该元素在表中的位置,否则为-1。
if(nums == null)return -1;
int left = 0, right = nums.length-1; // 置区间初值,left,right 也经常用 low,high 的变量名来替换
while(left <= right){
int mid = left + (right - left)/2;
if(nums[mid] == target) return mid; // 找到待查元素
else if(nums[mid] > target){ // 继续在前半区间进行查找
right = mid - 1;
}else{ // 继续在后半区间进行查找
left = mid + 1;
}
}
return -1; // 顺序表中不存在待查元素
}
leetcode题目链接:704.二分查找
std::binary_search
但实际应用时,我们可能不仅仅想知道有序表中是否存在待查找元素,还想知道该元素在有序表中不存在时,它将会被按顺序插入的位置(比如在拆半插入排序算法中确定下一个元素将要插入有序表中的位置)。换言之,我们想知道该元素在有序表中的区间(范围)信息:有序表中第一个大于或者等于它的元素的位置,有序表中第一个小于或者等于它的元素的位置,它的准确位置。
换言之,找到满足 nums[k] >= target 的最小的 k。
在二分查找基本形式中,将nums[mid] == target
并入nums[mid] > target
中,循环结束时left
指针的位置就是所求。
// java代码
public int searchBinFirstGE(int[] nums, int target) {
// 在有序表nums中二分查找第一个大于或者等于target的数据元素。
// 当left最终为 nums.length 时,表示有序数组nums中的元素都小于target
if(nums == null)return -1;
int left = 0, right = nums.length-1;
while(left <= right){
int mid = left + (right - left)/2;
else if(nums[mid] >= target){ // 继续在前半区间进行查找
right = mid - 1;
}else{ // 继续在后半区间进行查找
left = mid + 1;
}
}
return left;
}
leetcode官方题解上有一种变量跟踪式的写法,可能更好理解,但本质是一样的,如下:
// java代码
public int searchBinFirstGE(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
int left = 0, right = n - 1, ans = n;
while (left <= right) {
int mid = ((right - left) >> 1) + left;
if (target <= nums[mid]) {
ans = mid;
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return ans;
}
题目链接:35.搜索插入位置
std::lower_bound
换言之,找到满足 nums[k] > target 的最小的 k。
在上面查找有序表中第一个>=待查元素的元素位置
的代码中将if语句内的>=
或者<=
换为>
或者<
即可。
std::upper_bound
换言之,找到满足 nums[k] <= target 的最大的 k。
在二分查找基本形式中,将nums[mid] == target
并入nums[mid] < target
中,循环结束时right
指针的位置就是所求。(这里的"第一个<=待查元素"是指从右往左)
// java代码
public int searchBinFirstLE(int[] nums, int target) {
// 在有序表nums中二分查找第一个小于或者等于target的数据元素。
// 当最终right等于-1时,表示有序数组nums中的元素都大于target
if(nums == null)return -1;
int left = 0, right = nums.length-1;
while(left <= right){
int mid = left + (right - left)/2;
else if(nums[mid] <= target){ // 继续在前半区间进行查找
left = mid + 1;
}else{ // 继续在后半区间进行查找
right = mid - 1;
}
}
return right;
}
仿照上一个leetcode题解的变量跟踪式的写法,也可写成:
// java代码
public int searchBinFirstLE(int[] nums, int target) {
// 在有序表nums中二分查找第一个小于或者等于target的数据元素。
if(nums == null)return -1;
int left = 0, right = nums.length-1, ans = -1;
while(left <= right){
int mid = left + (right - left)/2;
else if(nums[mid] <= target){ // 继续在前半区间进行查找
ans = mid;
left = mid + 1;
}else{ // 继续在后半区间进行查找
right = mid - 1;
}
}
return ans;
}
换言之,找到满足 nums[k] < target 的最大的 k。
在上面查找有序表中第一个<=待查元素的元素位置
的代码中将if语句内的>=
或者<=
换为>
或者<
即可。
前面二分查找的基本形式,看似没有问题,但仔细一想,它只能用于判断有序表中是否存在target
元素。因为一旦有序表中的元素是可以重复的,那么它返回的索引只是其中某一个元素的在有序表中的位置。想要查找元素的准确位置,需要知道元素在有序表中的第一个和最后一个位置。
直接调用上面已经提及的查找有序表中第一个>=待查元素的元素位置
的函数求出待查元素在有序表中的第一个位置,查找有序表中第一个<=待查元素的元素位置
的函数求出待查元素在有序表中的最后一个位置。加以判断,即可。
leetcode官方题解上采用一种标志位和变量跟踪式的写法,将求解元素在有序表中的第一个和最后一个位置
在一个函数中实现了,很巧妙,也好理解,题解链接:34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
该方法对称性也很强,值得仔细斟酌一番。
// C++代码
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
// 返回结果ans : ans[0]表示元素的第一个位置,ans[1]表示元素的最后一个位置
// 返回结果 ans = { -1 , -1 } , 表示 数组中不存在该元素
int n = nums.size();
vector<int> ans(2, -1);
if (n == 0) return ans;
int left = 0, right = n - 1;
while (left < right) { // 当循环条件没有"=" 时,必有一个 = mid , 一个 mid - 1 或者 mid + 1
int mid = left + (right - left) >> 1; // 向下取整,靠近left,所以left = mid + 1(否则循环可能一直不结束)
if (nums[mid] >= target) right = mid;
else left = mid + 1;
}
if (nums[right] != target) return ans;
ans[0] = right; // 第一个位置
left = 0, right = n - 1;
while (left < right) { // 循环结束条件为left == right
int mid = left + (right - left + 1) >> 1; // 向上取整,所以right = mid - 1(否则循环可能一直不结束)
if (nums[mid] <= target) left = mid;
else right = mid - 1;
}
ans[1] = left; // 最后一个位置
return ans;
}
std::equal_range
二分查找
容易给我们一种感觉,就是一定要是数组整体有序的情况下,才能应用。其实不然,数组局部有序
时,也能应用二分查找
解决特定的问题
。这里的局部有序是指,该数组是由多段整体有序的小数组
拼凑而成。也就是该数组在二维平面上(x轴表示位置,y轴表示对应的数组元素的值或者元素值的函数)是分段有序
的图形(折线图
)时,可以考虑使用二分查找
。
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