算法训练day48-动态规划-买卖股票的最佳时机III、IV
123.买卖股票的最佳时机III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1: 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。
解题思路
本题相比之前的买卖股票看上去复杂了些，不过万变不离其宗，仍然可以采用动态规划的步骤来分析：
确定dp数组及下标含义
dp数组一共有五个状态：
dp[i][0]：表示第i天不做任何操作的剩余现金
dp[i][1]：表示第i天第一次持有股票的剩余现金（代表的是第i天的状态，不是第i天才买入）
dp[i][2]: 表示第i天第一次卖出股票的剩余现金
dp[i][3]: 表示第i天第二次持有股票的剩余现金
dp[i][4]: 表示第i天第二次卖出股票的剩余现金
确定递推公式
达到dp[i][1] 状态有两种情况：
一，第i 天买入股票,前一天不做操作： dp[i][1] = dp[i-1][0]-prices[i]
二，前一天买入股票，并保持到第i天： dp[i][1] = dp[i-1][1]
dp[i][1] = max(dp[i-1][0]-prices[i],dp[i-1][1])
达到dp[i][2] 状态有两种情况：
一，前一天持有股票，第i天卖出 ： dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
二，延续前一天的卖出股票状态，第i天保持不变：dp[i][2] = dp[i-1][2]
dp[i][2] = max(dp[i-1][1] + prices[i],dp[i-1][2])
达到dp[i][3] 状态有两种情况：
一，前一天卖出第一次的股票，第i天二次买入 ： dp[i][3] = dp[i-1][2] - prices[i]
二，延续前一天的二次买入股票状态，第i天保持不变：dp[i][3] = dp[i-1][3]
dp[i][3] = max(dp[i-1][2] - prices[i],dp[i-1][3])
达到dp[i][4] 状态有两种情况：
一，前一天二次持有股票，第i天卖出 ： dp[i][4] = dp[i-1][3] + prices[i]
二，延续前一天的卖出股票状态，第i天保持不变：dp[i][4] = dp[i-1][4]
dp[i][4] = max(dp[i-1][3] + prices[i],dp[i-1][4])
初始化
dp[0][0] = 0 ，初始现金为0
dp[0][1] = -prices[i] ,第一次买入
dp[0][2]= 0，第一天已经买入了再卖出
dp[0][3]= -prices[i],第二次买入
dp[0][4]=0,第二次卖出
遍历顺序
i从小到大
结果
最大利润一定是第二次卖出的状态.如果第一次买入已经是最大值了，那么可以在当天买入再卖出。所以第二次卖出的情况中已经包含了第一次卖出的最大状态。
故最终结果为dp[prices.length-1][4]
代码示例-java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 定义dp数组
int[][] dp = new int[prices.length][5];
// 初始化
dp[0][0] = 0 ;
dp[0][1] = -prices[0] ;
dp[0][2]= 0;
dp[0][3]= -prices[0];
dp[0][4]=0;
// 遍历
for(int i=1;i空间优化版
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[4];
// 存储两次交易的状态就行了
// dp[0]代表第一次交易的买入
dp[0] = -prices[0];
// dp[1]代表第一次交易的卖出
dp[1] = 0;
// dp[2]代表第二次交易的买入
dp[2] = -prices[0];
// dp[3]代表第二次交易的卖出
dp[3] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
// 要么保持不变，要么没有就买，有了就卖
dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i-1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0]+prices[i-1]);
// 这已经是第二次交易了，所以得加上前一次交易卖出去的收获
dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1]-prices[i-1]);
dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2]+ prices[i-1]);
}
return dp[3];
}
}188.买卖股票的最佳时机IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1： 输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。
解题思路
题目在123的基础上做了扩展，不过仍然可以采用相同的分析法：
确定dp数组下标及含义
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
dp[i][0]：表示第i天不做任何操作的剩余现金
dp[i][1]：表示第i天第一次持有股票的剩余现金（代表的是第i天的状态，不是第i天才买入）
dp[i][2]: 表示第i天第一次卖出股票的剩余现金
dp[i][3]: 表示第i天第二次持有股票的剩余现金
dp[i][4]: 表示第i天第二次卖出股票的剩余现金
..........
dp[i][j]: 表示第i天第j次卖出股票的剩余现金
可以看到当j为奇数时，代表买入，j为偶数时代表卖出 . 当有k笔交易那么k的范围为 2 * k + 1
确定递推公式
考虑j的奇偶性，j有两种情况，分别代表买入卖出。
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}dp数组初始化
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0]
dp[0][2] = 0
dp[0][3] = -prices[0]
dp[0][4] = 0
所以当j为奇数时都初始化为 -prices[0],偶数时默认初始化为0
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}遍历顺序
从前向后，由dp[i-1] [j]推导出 dp[i][j]
代买示例-java
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// 定义dp数组 [天数][股票状态]
// 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
// dp数组的初始化，j为奇数时统一初始化为-prices[0],其余初始化0
for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0];
}
// 遍历
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k*2];
}
}