【考研数学】高等数学第七模块 —— 曲线积分与曲面积分 | 1. 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

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引言

终于，这应该是高数的最后一个模块了，除了前面还有一些微分、微分方程和积分的实际应用没有写，大的高数理论接近完结。

现在已经算 10 月了，线代还有一章，概率论还没到数字特征那部分，已经算是有些慢了。不过依然要稳扎稳打，赶不得。

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一、曲线积分

1.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

1. 问题产生 —— 曲线段的质量

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内有限的曲线段，其线密度为 $\rho (x,y)$ ，求其质量 $m$ 的过程如下：

在引入定积分定义时，采用了微元法进行处理，在这也依然可以做类似处理。

（1）将 $L$ 分为 $n$ 个小的曲线段，记为 $\Delta s_1,\Delta s_2,\cdots ,\Delta s_n$;

（2）任取 $({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta s_i$ ，则每一个小曲线段的面积 $\Delta m_i=\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i(i=1,2,\cdots ,n)$ ，则整个曲线段面积的近似值为 $m\approx \sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i;$

（3）令 $\lambda =\max \{\Delta s_i\}$ ，则 $m={\lim }_{\lambda \to 0}\sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i.$

2. 对弧长曲线积分的定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内有限的光滑或逐段光滑曲线段，函数 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上有界。将 $L$ 分为 $n$ 个小的曲线段，记为 $\Delta s_1,\Delta s_2,\cdots ,\Delta s_n$；任取 $({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta s_i$ ，作 $\sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$ ；令 $\lambda =\max \{\Delta s_i\}$ ，若极限 ${\lim }_{\lambda \to 0}\sum \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$ 存在，称其为 $f(x,y)$ 在曲线段 $L$ 上对弧长的曲线积分，记为 ${\int }_{L}f(x,y)ds.$

和我们之前的定积分一样，曲线积分的值与线段 $L$ 的分法及点的取法无关。
若函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 连续，则其曲线积分一定存在（连续一定可积）。

3. 对弧长的曲线积分的基本性质

（1）${\int }_L[af(x,y)+bg(x,y)]ds=a{\int }_{L}f(x,y)ds+b{\int }_{L}g(x,y)ds.$

（2）${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{L_1}f(x,y)ds+{\int }_{L_2}f(x,y)ds$ ，其中 $L=L_1+L_2.$

（3）${\int }_{L}ds=l$ ，其中 $l$ 为曲线 $L$ 的长度。

顺带回忆一下弧长的公式：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx.$

（4）若曲线关于 $y$ 轴（即关于自变量 $x$ ）对，$L_1$ 为位于 $y$ 轴右边的部分。

若 $f(-x,y)=-f(x,y)$ ，则 ${\int }_{L}f(x,y)ds=0;$

若 $f(-x,y)=f(x,y)$ ，则 ${\int }_{L}f(x,y)ds=2{\int }_{L_1}f(x,y)ds;$

这有点像二重积分的结论，同样如果曲线关于 $x$ 轴（即关于变量 $y$ ），有类似结论。关于 $y=x$ 对称的话，则 $x,y$ 可对换位置。

4. 对弧长的曲线积分的计算方法

（1）特殊替代法

将 $f(x,y)$ 的曲线积分通过一些基本性质，化为常数的曲线积分。

如计算 $I={\int }_L(x^2-2xy+3y^2)ds$ ，其中 $L:x^2+y^2=1.$

解： 曲线 $L$ 显然关于 $y$ 轴对称，则有 $I={\int }_L(x^2+3y^2)ds.$ 曲线 $L$ 还关于 $y=x$ 对称，则有 $2I={\int }_L(x^2+3y^2+y^2+3x^2)ds=4{\int }_{L}ds=4\times 2\times \pi =8\pi$ ，则 $I=4\pi .$

（2）定积分法

将曲线积分转为定积分，关键是将 $ds$ 转换为对应一元量。

若 $L:y=\phi (x)(a\le x\le b)$ ，则 $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,\phi (x))\sqrt{1+({\phi }^{\prime }(x){)}^2}dx;$$ 若用参数方程表示，$$L:\{\begin{array}{l}x=u(t)\\ y=v(t)\end{array}(\alpha \le t\le \beta ),则有{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(u(t),v(t))\sqrt{u^{\prime 2}(t)+{\phi }^{\prime 2}(t)}dt$$ 综上，计算第一类曲线积分一般按照如下步骤进行：

（1）考虑方法 1 ，看看是否能将曲线方程代入被积函数。

（2）考虑奇偶性和对称性进行简化。

（3）写出曲线方程的适当形式，将曲线积分转为定积分。如有多种形式，可拆分为多段曲线积分之和。

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写在最后

说到底，最后还是化成了定积分进行计算。如果定积分定义、二重积分定义、三重积分定义都能掌握的话，这第一类曲线积分其实并不复杂。