高中奥数 2021-12-29

2021-12-29-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 第二数学归纳法 P007 例1）

实数数列 满足:对任意,都有.

证明:对任意,都有

证明

当时,命题显然成立.

现设(1)式对所有小于的正整数都成立,即对,都有

我们记,,则由上述假设知,即

上式两边都加上,可得

于是

由条件知,,,,所以.这样,由(2)可得(1)对成立.

所以,对任意,不等式(1)成立.

2021-12-29-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 第二数学归纳法 P007 例2）

正整数数列满足下述条件:

对任意正整数、,若,则存在正整数,使得

问:对每个给定的,的最大值为多少?

解

我们证明:的最大值为2,而当时,的最大值为.

为此先证:

事实上,若,取,知存在,使得,即,仅当时,为整数,故.

现设(1)对都成立,取,则存在,使得.

这要求,否则与、为正整数矛盾.

从而,即.所以.

因此,由第二数学归纳法知,结论(1)成立.

再证:当,时,数列具有题给的性质.

对归纳.当时,,故或.若,取即可,若,取即可.

假设当时,题给性质满足.考虑的情形,此时.

若,取,即可;

若,令,并对用归纳假设,可知(2)成立;

若,取,并对用归纳假设即可;

若,取,并对用归纳假设即可.

所以,结论(2)成立.

综上可知,的最大值为2,而当时,c的最大值是.

说明

对比两个例子可发现,用第二数学归纳法证题时,一个思路是整体处理:例1中对归纳假设中的个不等式求和;另一个思路是将的情形归入中的某一种情形,这在例2的后半部分有明显的体现.