树以及二叉树的概念及其基本操作

数据结构中不仅有线性结构，还有较为复杂的树形结构，今天就来学习下树形结构吧。

树

1.树的概念

树作为树形结构的扛把子（不就只有这一个树形结构吗 ），是一个由N个有限节点组成的一个具有层次关系的集合
其中树的第一个节点称为根节点，并且根节点没有前驱，而其他节点都被分为M个不同集合，而每一个集合都是一个和树结构类似的子树，而这些子树的根节点只有一个前驱，有0个和多个后续，并且树是递归定义的。

相信大家看到这里肯定是一脸懵逼，树的第一个节点是根节点，那么其他M个不同集合是什么，子树又是什么，子树的根节点又是什么？

欸，且别急，心急吃不了热豆腐（被打）
我一一为大家解答。
我们先来看下一个经典的树长什么样的。

这棵树的A节点就是根节点，它的下面有三个子树，BCD，在这张图中，我们先将这棵树分为两个部分，A节点以及它的子树BCD；

B子树：包括BEF三个节点；
C子树：包括CGK三个节点；
D子树：包括DHIJL五个节点；

所谓子树的根节点就是子树的第一个节点，比如上面，B子树的根节点就是B节点，而B子树又有两个子树，E和F，E又是E子树的根节点，F又是F子树的根节点，并且我们可以发现，B子树和C子树或者D子树的后续子节点的个数不相同，这就是每个子树有N个后续（N>=0)，N不一定相同。

那么为什么说树是递归定义的呢？

依旧拿上面的图解释一下，我们想要创建A树，我们第一步肯定是要创建A这个节点，创建好A节点后，我们就需要再创建B子树，而创建B子树我们在创建B节点后又需要创建E和F两个子树，依次类推，我们依次建立节点，实现A树。

2.树的相关概念

在树里面有许多特别的概念，这里通过这张图来一一解释。

节点的度：一个节点所含有的子树的个数为该节点的度，如上图A的度为3，B的度为2。
叶节点：度为0的节点，如上图的K,L等是叶节点。
分治节点：度不为0的节点，如上图的B,C,D等。
双亲节点：若一个节点含有子节点，则该节点为其子节点的双亲节点，如A是B，C，D的双亲节点。
子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，如B是A的子节点。
**兄弟节点：具有相同父亲节点的节点称为兄弟节点，**如E,F是一对兄弟节点。
树的度：树中最大的节点的度称为树的度，如该树的度是3。
节点的层次：从根开始定义，根为第一层，其子节点为第二层，依次类推，如上图A在第一层，BCD在第二层，EFGHIJ在第三层，KL在第四层。
树的高度和深度：树中节点的最大层次，如该树高度为四。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图中E和G互为堂兄弟。
节点的祖先：从根节点到该节点所经历的所以节点，如上图中K的祖先有G,C,A。
节点的子孙：以某节点为根的子树上的任意节点都是该节点的子孙，如所以节点都是A的子孙。
森林：有m（m>0)棵互不相交的树的集合称为森林。

3.树的表示

了解了树的基本概念，我们来聊聊树的表示。
假设我们需要这样一颗树：

如果我们写一个结构体，那我们可能会这样写：

typedef struct TreeNode{
	int data;
	struct TreeNode* T1;
	struct TreeNode* T2;
	struct TreeNode* T3;
}Node;

用这个结构体确实能够满足我们的要求，实现出这棵树，但是我们回过头看看树的定义；

树的定义是说树可以有多个后续，可没规定只有三个后续啊，那么我们该怎么办呢？
实际上，有一个大佬想出了一个办法，那就是孩子兄弟表示法。

3.1 孩子兄弟表示法

先来看看孩子兄弟表示法的代码，再来细细说明其精妙之处；

struct Node
{
	int data;
	struct Node* firstchild;
	struct Node* nextbro;
};

大家乍眼一看，肯定是满头问号：你这怎么才两个指针？怎么比刚才还少，怎么实现树嘛！你给我去spa！

欸，大家且莫急，听我细细说来。
这个结构体十分简单，首先，第一个指针firstchild是指向下一层的第一个节点，拿之前的图来说

这里A在第一层，BCD在第二层，而A的firstchild应该指向B，而非其它位置，而B的nextbro指针则指向同一层的C节点，D的nextbro则指向NULL，因为这一层只有它们三个节点，而其他节点也是如此，用图表示应该是这样：

由于本人偷懒 篇幅限制，图并未画全，但是大家应该给能够明白孩子兄弟表示法是怎么一回事了。

4.树的应用

大家也许对树现在有了一定的理解，那么树用在哪里呢？

想必看到这里的大家都是用过电脑的吧（废话），那么我们一定见识过文件夹，文件夹就是一个树的结构；

就拿本人的u盘来说，我们将此电脑视作根节点，此电脑下面有三个子节点，C,D,F盘，其中各自每一个盘都有自己的文件夹，用孩子兄弟法来说，F盘的firstchild指针就指向第一个文件夹，而第一个文件夹则指向同一层的其他文件夹，依次类推，组成一个具有层次感的结构。

二叉树

1.二叉树的基本概念

在了解树的基本概念后，我们再来了解二叉树的基本概念。

二叉树，其实就是树的一种特殊的形态，只不过这个树只有两个指针。

struct Tree{
	int data;
	struct Tree* lchild;
	struct Tree* rchild;
};

这就是一个基本的二叉树结构体。

大家乍眼一看，是不是感觉很熟悉？
是的，这个和孩子兄弟表示法的结构是一样的，都是只有两个指针，但是为什么这个表示二叉树，而那个表示树呢？

因为指针名字不一样

因为它们指针的用法不一样，孩子兄弟表示法的child指向下一层节点的第一个节点，bro指向同一层的下一个节点，而二叉树两个指针都指向下一层的节点。

就比如这样，这就是一个经典的二叉树。
而根据左右节点，二叉树又有左右之分，比如上图中的根节点有左右两个子树，而左右两课子树又分别有左右两个子树。

2.特殊的二叉树

二叉树中有一种特殊的二叉树，叫完全二叉树。

何谓完全二叉树，就是除了最后一层，所有层数的节点都是满的，而且最后一层应该是从左至右依次有节点，这里我画一张图方便更好理解。

看上图，这就是一个经典的完全二叉树，所谓这一层满节点，就是指在高度为h的那一层，应该有
2^(h-1)个节点，比如第一层就有2⁰个节点，也就是一个节点，第二层有2¹个节点，也就是一个节点，而完全二叉树关键在于最后一层，需要从左至右依次有节点才行，比如上图中，只有第三层的第一个节点有左右节点，其他则没有。

而这样，第三层第二个节点没有左节点却有右节点，这就不是完全二叉树了。

而完全二叉树中又有一种特殊的树叫满二叉树。所谓满二叉树，是说高度为h的树，有2^h-1个节点，且每一层的节点都是2^h-1个。
比如这样的：

3.二叉树的性质

当我们了解二叉树的一些东西后，我们需要了解到，二叉树的一些特殊性质。

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1). ( 是log以2
   为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   5.1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   5.2. 若2i+1=n否则无左孩子
   5.3. 若2i+2=n否则无右孩子

上面有一个经典的一句话是规定根节点层数为1，这是因为根据习惯不同，有的人规定根节点层数为0，有点规定为1，而所有关于二叉树节点，高度的计算都要通过层数计算，若是从第0层开始算，那么上面的公式又不会适用了，需要注意。

4.二叉树的存储结构

二叉树也有两种结构，一个是顺序结构，一个是链式结构 。

4.1二叉树的顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

4.2二叉树的链式结构

链式结构实际上就是用链表进行存储，通常由左右指针分别指向左孩子和右孩子所在地址，并且递归进行下去，直到孩子为NULL返回。
并且链式存储又分为前序，中序和后序进行存储，不过那都是在下一篇博客才能更加详细的了解了。

总结

树和二叉树作为数据结构的一个重点，需要对递归有深入的了解，希望看到这里的各位能够仔细思考二叉树递归创建应该如何创建，以便更好的自主学习。