算法通过村第十一关-位运算|青铜笔记|初始位运算

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前言

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提示：我的父亲从我出生起便认识我，可他对我的了解却那么少，真实奇怪啊。 --C·S·路易斯《惊喜之旅》

位运算是计算机的核心基础，数据的便是和计算几乎都少不了，在JVM以及很多高性能代码中大量使用，甚至很多算法本身就是基于位进行的。在算法方面，很多位相关的算法都很有技巧，不学不知道。另外很多算法看起来与位运算无关，但是通过位运算操作优化一下，性能会提高不少，感兴趣的同学，接着往下看吧。

在学习位操作之前，我们先明确数据在计算机中怎么表示的。我们明确了，原码、反码和补码的概念和便是方法之后我们再来看位运算的相关问题。

1. 数字在计算中的表示

机器数：一个数载计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是导游符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。比如，十进制中数+3，在计算机中长度为8位，转换成二进制就是0000 0011.如果是-3，就是1000 0011。这里的0000 0011和1000 0011就是机器数。

真值：因为机器数第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。比如上面说的有符号数的1000 0011，其最高位1代表负，其真值是 - 3而不是形式值（131【1000 0011】）。所以，为了号区别，将带有符号位的机器数对应的真值数称为机器数的真值。例：1000 0011的真值 = - 000 0011 = -3，0000 0011的真值 = + 000 011 = + 3.

计算机对机器数的表示进一步细化：原码、反码、补码。

原码：就是说符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如如果是8位二进制：

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制的取值范围就是：

[1111 1111,0111 1111]，也就是【-127，127】

反码：就是说正数的反码是其本身，而负数的反码是其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。例如：

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反

可见如果一个反码便是的是负数，人脑无法直观的看出它的数值，通常要将其转化成原码再计算。

在应用中，因为补码能保持加和减运算的统一，一次应用更广泛，便是方法就是：

• 正数的补码就是其本身
• 负数的补码就是再其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（即再反码的基础上+1）

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观的看出其数值的，通常也需要转换成原码再计算器数值。

拓展：为什么要有原码、反码和补码?

既然原码就能表示数据，为什么实际软件中更过使用的是补码呢？我们接着往下看。

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为有三种编码方式的结果都相同：

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补

但是对于负数：

[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补

可见原码、反码和补码完全不同。既然原码才能被人脑直接识别并用于计算表示方式，可我为什么还有反码和补码呢？

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候会根据符号位选择对真值区域的加减。但是计算机要辨别“符号位”就必须获取全部的位的数据才可以，显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是人们相处了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据计算法则减去一个正数等于加上一个负数，即 1 - 1 = 1 + （-1） = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了，于是人们开始探索让符号参与运算，并且只保留加法的方法。

看一个栗子，计算十进制的表达式：1 - 1 = 0，首先看原码的表示：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 = -2

如果用原码便是让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也是为何计算机内部不能使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题就出现了反码，此时计算十进制的表达式位：1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) 
    = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
    = [0000 0001]反 + [1111 1110]反
    = [1111 1111]反 
    = [1000 0000]原
    = - 0

可以看到用反码计算结果的真值部分是正确的，但是“0”的表示有点奇怪，+0和-0是一样的，而且0带符号是没有任何意义的，而且还要浪费[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码来表示0。于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：

1 - 1 = 1 + (-1) 
    = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 
    = [0000 0001]补 + [1111 1111]补
    = [0000 0000]补 
    = [0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示，而以前出现的-0则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128：

-1 - 127 = -1 + (-127) 
    = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 
    = [1111 1111]补 + [1000 0001]补
    = [1000 0000]补 

-1-127的结果应是-128，我们正好可以用[1000 0000]来表示-128，这样使用补码的范围就可以扩大为[-128,127]，这里刚好比原码的[-127,127]好。拓展一下，对于编程中常用到的32位int类型，可以表示的范围是[-2^31,231 - 1]，这是我们经常见到的定义方式。

2. 位运算规则

这个章节主要学习一下二进制，这里要好好学上面的知识，牢记掌握。⭐⭐⭐⭐

计算机采用的是二进制，二进制包括两个数码：0，1。在计算机的底层，一切运算都是基于位运算实现的，所以研究清楚位运算可以帮助我们对于基础原理有进一步加深。

在算法方面，不少题目都是基于位运算拓展而来的，而且还有一定的技巧，如果不是提前学一学，面试的时候是很难想到的。

位运算主要有：与，或、异或、取反，左移和右移。其中左移和右移统称为移位运算，移位运算又称为算术移位和逻辑移位。

2.1 与、或、异或和取反

与运算的符号是&，运算规则是：对于二进制位，当两个数对应的位都为1时，结果才为1，否则结果为0。

0 & 0 = 0
0 & 1 = 0
1 & 0 = 0
1 & 1 = 1

或运算的符号是|，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位都为0时，结果才是0，否则结果为1。

0 | 0 = 0
0 | 1 = 1
1 | 0 = 1
1 | 1 = 1

异或运算的符号时^(在代码中表示)，运算规则时：对于每个二进制位，当两个数对应的位相同时，结果为0，否则结果为1。

0 ^ 0 = 0
0 ^ 1 = 1
1 ^ 0 = 1
1 ^ 1 = 0

取反运算的符号时~，运算规则是：对于一个数的每个二进制位进行取反操作，0 变成1，1变成 0。

~ 0 = 1 
~ 1 = 0

我们做一下测试，来检测一下你的掌握程度：

46的二进制表示[0010 1110], 51的二进制表示是[0011 0011]。考虑以下的位运算结果。

• 46 & 51 的结果是 34

  • [0010 1110]
    [0011 0011]
    
    [0010 0010]   34
    

• 46 | 51 的结果是 63

  • [0010 1110]
    [0011 0011]
    
    [0011 1111]   63
    

• 46 ^ 51 的结果是 29

  • [0010 1110]
    [0011 0011]
    
    [0001 1101]   29
    

• ~ 46 的结果是

  • [0010 1110]原  
    [0010 1110]反
    [0010 1110]补 （运算）
    [1101 0001]
    [1101 0000]反
    [1010 1111]原  -47  
    

• ~ 51 的结果是

  • [0011 0011]原  
    [0011 0011]反
    [0011 0011]补 （运算）
    [1100 1100] 
    [1100 1011]反
    [1011 0100]原   有问题
    

2.2 位移运算

移位运算按照移位的方向可以划分为左移和右移，按照是否带有符号分类可以分为算数移位和逻辑移位。

原始：[0000 0110] 6

右移一次：[0000 0011] 3 相当于除以2

左移一次：[0000 1100] 12 相当于乘以2

6*3 = 6*(2 + 1) = 6 * 2 + 6 * 1
66 * 33 = 66 * (32 + 1) = 66*32 + 66 * 1

左移运算的符号是<<，左移运算时，将全部二进制位向左移动若干位，高位丢弃，低位补0.对于左移运算，算术移位和逻辑移位时相同的。

右移运算的符号时>>，右移运算时，将全部的二进制位向右移动若干位，低位丢弃，高位的补位由算数移位和逻辑移位决定：

• 算术右移时，高位补最高位
• 逻辑右移时，高位补0

一下栗子显示位移运算的结果，检验你是否过关，参与运算的数组都采用有符号8位二进制表示：

• 29的二进制表示[0001 1101]。29左移2位的结果是 116，对应的二进制表示[0111 0100]；29左移3位的结果是-24表示[1110 1000]

  • [1110 1000] 补 
    [1110 0111] 反
    [1001 1000] 原  -24
    

• 50的二进制表示是[0011 0010]。右移1位的结果是25[0001 1001]；右移2位的结果是12[0000 1100]。所以对于正数和0，算术右移和逻辑右移的结果是相同的。

• -50的二进制表示是[1011 0010] 补码[1100 1011]，右移2位的结果是-13[1111 0011]； -50逻辑右移2位的结果是51，对应的二进制表示[0011 0011].【没完全理解】

右移运算中的算术移位和逻辑移位是不同的，计算机内部的右移运算采用的是哪一种呢？

• 对于Java而言，不存在无符号类型，所有便是整数的类型都是有符号类型，此时需要区分算术右移和逻辑右移。在Java中，算数右移的符号是>> ，逻辑右移的符号是>>>
• 对于C/C++而言，数据类型包含由符号类型和无符号类型，其中有符号类型使用关键字signed声明，无符号类型使用关键字unsigned声明，两个关键字都不适用时，默认有符号类型。对于有符号类型，右移运算为算数右移，对于无符号类型，右移运算为逻辑右移。

2.3 位移运算和乘除的关系

从上面的栗子观察，移位运算可以实现乘除的操作。由于计算机的底层的一切运算都是基于位运算实现的，因此，使用移位运算实现乘除的效率显著高于直接乘除法的。

左移运算对应乘法运算。将一个数左移k位，就等价于将这个数乘以2^k。例如：29左移2位的结果是116，等价于29*4。当乘数不是2的整数次幂，可以将乘数拆成若干项2的整数次幂之和，例如：a * 6 等价于（a << 2)+(a << 1)，乘法运算都可以用左移运算实现，但是需要注意溢出的情况，例如8位二进制表示下29左移3位，就会出现溢出。

算数右移运算对应除法运算，将一个数右移k位，相当于将这个数除以2^k。例如。50右移2位的结果是12，等价于50/4，结果是向下取整。

从程序实现的角度，考虑程序中的整数除法，是否可以说将一个数（算数）右移k位，和将这个数除以2^k等价？对于0和正数，上述的说法是成立的，整数除法是向0取整，右移运算是向下取整，也是向0取整。但是对于负数，上述的说法就不成立了，整数除法是向0取整，右移运算时向下取整，两者就不相同了。比如：（-50） >> 2 的结果时-13，而（-50）/ 4 的结果时 -12，两者是不等的。因此要考虑一个数（算术）右移k位，和将这个数除以2^k是不等价的。算法出题也想到了这一点，因此大部分算法题目都是将测试数据限制在正数和0的情况，因此可以放心的左移和右移。

2.4 位运算的常用技巧

位运算的性质有很多，此处记录一些常见的性质，假设一下出现的变量都是有符号的整数

• 幂等律：a & a = a , a | a = a (注意异或不满足幂等律)
• 交换律：a & b = b & a , a | b = b|a , a ^ b = b ^ a
• 结合律：（a & b) & c = a & (b & c), (a | b) | c = a | (b | c), (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
• 分配律： (a & b) | c = (a | c) & (b | c), (a | b) & c = (a & c) | (b & c) ,(a ^ b) & c = （a & c) ^ (b & c)
• 摩尔根律：~(a & b) = (~a ) | (~b), ~(a | b) = (~a) & (~b)
• 取反运算性质：- 1 = ~0， -a = ~(a - 1)
• 与运算性质：a & 0 = 0, a & （ - 1） = a ， a & ( -a ) = 0
• 或运算性质： a | 0 = a;
• 异或运算性质：a ^ 0 = a , a ^ a = 0;

根据上面的性质呢，还可以有很多小工具：

• a & (a - 1)的结果是将a 的二进制表示的最后一个1 变成 0；
• （补码）a & (-a)的结果只保留a的二进制最后一个1，其余的1都变成0；

处理位操作时，还有很多技巧，切莫死记硬背，理解其原理解决相关问题才有用。举个例子：

1s和0s分别代表与x等长的一串1和一串0：

x ^ 0s = x    x ^ 1s = ~x   x ^ x = 0
x & 0s = 0    x & 1s =  x   x & x = x
x | 0s = x    x | 1s = 1s   x | x = x

而获取、设置、更新某个数数据，也有固定的套路的。

获取:

该方法将1左移i位，得到形如[0001 0000]的值。接着对这个数与num执行“位于”操作，从而将i位之外的所有位清零，最后检查该结果是否位零，不为零说明i位为1，否者说明i位为0

public boolean getBit(int num, int i){
    return ((num & (1<<i)) != 0);
}

设置（将某一位设置为1）

该方法将1左移i位，得到形如[0000 1000]的值，接着对这个值和num执行“位或”操作，这样只会改变i的数据。这样除i位以为均不发生变化，且i位被设置位1。

public int setBit(int num,int i){
    return num | (1 << i);
}

清零（将某一位设置为0）

该方法与setBit相反，首先将1左移i位获得形如[0000 1000]的值，对这个值取反而得到形如[1111 0111]的值，直接对该值和num执行“位于”操作，故不会影响到num的其他位，只会清零i位。

public int clearBit(int num,int i){
    int mask = ~(1 << i);
    return nums & mask;
}

更新

该方法是将setBit和clearBit合为一个方法，首先是将形如[1111 0111]的值将num的第i位清零。接着将待写入的值v左移i位，得到一个i位为v的但是其余位都为0的数，最后对之前的结果执行“位或”操作，将v位1的这个与num的i位更新位1，否则为0；

public int updateBit(int num,int i ,int v){
    int mask = ~(1 << i);
    return (num & mask) | (v << i);
}

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总结

提示：认识位运算；位运算由来；计算机原理；计算机基础；位运算小技巧

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