[AcWing] 291. 蒙德里安的梦想（C++实现）状态压缩dp例题

1. 题目

2. 读题（需要重点注意的东西）

思路：

状态压缩：即用二进制表示状态

---

代码实现思路：
基于以上思路，提炼出 ：总方案数 = 横着放小方块的合法的方案数
所以只需要算所有横着放的方案数就可以
放横着的方块数且合法有如下两个条件：

① 放完横着的方块后，剩余每列的空余的方块中，任一连续的空方块数为偶数；（因为要放下 2 x 1 的竖着的方块）
② j & k == 0，即 j 与 k 不能在同一行，如果 j 与 k 在同一行，则产生了交集，会产生重叠

那么，代码流程：

bool st[M]; // 判断当前这一列空着的连续块是不是2的偶数倍（即判断这一列是否合法）
vector<int> state[M]; // 存储所有的合法状态
LL f[N][M];  // f[i][j] 表示从第i-1列伸到第i列的状态为j（j为一个二进制数，表示了各行中从第i-1列伸到第i列的状态，如若 j = 10100，表示第一、三行的第i-1列伸到了第i列）

① 构建 st 数组：找出所有空的连续块是2的倍数的情况；
② 通过 st 数组构建 state 数组：找出放横着的方块数且合法的所有的情况；
③ 通过 state 数组，进行dp，在每一个 f[ i ][ j ] ，执行for (auto k : state[j])，然后将所有合法的状态f[ i-1 ][ k ]加起来。

		// ----------------------③----------------------------
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                // 对于每个状态f[i][j] ,枚举所有在这列的合法的状态state[k]，dp
                for (auto k : state[j])
                    // 将所有合法的方案加起来
                    f[i][j] += f[i - 1][k];

3. 解法

---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 12, M = 1 << N; // M 最多是 2 的 N 次方

int n, m;
LL f[N][M]; 
vector<int> state[M]; // 存储所有的合法状态
bool st[M]; // 判断当前这一列空着的连续块是不是2的偶数倍（即判断这一列是否合法）

int main()
{   
    // 输入n和m，当n和m都为0的时候退出循环
    while (cin >> n >> m, n || m)
    {   
        // 循环2的n次方次，处理st数组？---------------问题一：为什么是2的n次方次循环
        // 这个循环其实表示的是每列的每种状态，如i = 1011下，当前这一列空着的连续块是不是2的偶数倍
        // 因为对于每一行，都有选和不选两种情况，则对n行，有2的n次方种选法，则要循环2的n次方次
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            // i表示的是什么？ i =(1011)2进制=(11)10进制
            int cnt = 0; // cnt表示0的个数
            bool is_valid = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                if (i >> j & 1) // 如果当前位为 1,判断前面的空格的数量是不是偶数个-----------问题二：这行代码是什么意思？
                {
                    if (cnt & 1) // 判断前面的空格的数量是不是偶数个------------------问题三：这行代码是什么意思？
                    {
                        is_valid = false; // 不是偶数个，直接置位false
                        break;// break
                    }
                    cnt = 0; // 如果是偶数个，则从这行起，重新开始计算空格的数量
                }
                else cnt ++ ; // 如果当前位为0，则继续计数，cnt++
            if (cnt & 1) is_valid = false; // 遍历到末尾，如果最后这段0的个数是奇数个，则将is_valid置为false
            
            st[i] = is_valid; // 经过以上代码，便统计完这列了，将这列是否合法记在st数组中
        }
        
        // 枚举所有的合法状态
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            state[i].clear();
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                // 满足放置横着的1x2块的合法的两个条件
                if ((i & j) == 0 && st[i | j]) //C++中， | 表示按位或
                    // 将j存到state[i]----------------问题四：这行代码是什么意思？
                    state[i].push_back(j); // 将i列的合法的行j存在state[i]中
        }
        
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                // 对于每个状态f[i][j] ,枚举所有在这列的合法的状态state[k]，dp
                for (auto k : state[j])
                    // 将所有合法的方案加起来
                    f[i][j] += f[i - 1][k];

        cout << f[m][0] << endl;
    }

    return 0;
}

---

可能存在的问题（所有问题的位置都在上述代码中标注了出来）

问题一： 循环2的n次方次，处理st数组时，为什么是2的n次方次循环？
问题一答： 因为对于每一个状态，都有伸或者不伸两种情况，则对于n行，最多有2的n次方个方案。

问题二： if (i >> j & 1)这行代码是什么意思？
问题二答： i 右移 j 位与上 1 ，这行代码是判断第 j 位上是不是1，如果是1了，表明这位上不是0，则进一步去判断前一段的连续的0是不是偶数个

问题三： if (cnt & 1) 这行代码是什么意思？
问题三答： 按位与可以判断整数的奇偶性。这行代码的作用是判断前面的空格的数量是不是偶数个，在C++中， &是按位与，如果cnt = 3 , 则 cnt & 1 = 1，如果cnt = 4 , 则 cnt & 1 = 0。
即，奇数 & 1 = 1，偶数 & 1 = 0。

原理：
与操作：都为1才为1
一个数的奇偶性由这个数的二进制最后一位决定,最后一位是1,就是奇数，是0就是偶数;
利用按位与的清零功能判断

问题四： state[i].push_back(j); 将j存到state[i]，这行代码是什么意思？
问题四答： 将第 i 列的所有的合法的行 j 存在 state[i] 中

4. 可能有帮助的前置习题

5. 所用到的数据结构与算法思想

• 动态规划
• 状态压缩dp

6. 总结

状态压缩dp的例题，理解思想并自行推导出代码。