分类讨论 ---- 2021 icpc 沈阳 L Linear Fractional Transformation (思维题)

题目链接

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题目大意

给你一个线性变换函数$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,现在把取值范围扩展到复数域。给你3个等式
$$f(z_1)=w_1$$
$$f(z_2)=w_2$$
$$f(z_3)=w_3$$
问你$f(z_0)$是多少？

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解题思路：

题目有个很有意思的地方就是它保证了解是唯一的！！
现在有3个等式只能确定3个变量，那么对于第4个变量我们是可以直接赋一个特殊值去求的？

那么最特殊的是什么呢？肯定是分母啊！

那么肯定是对分母里面的$c$进行分类讨论

1. $c=0$

如果$c=0$那么$f(z)=\frac{az+b}{d}$其实$d$就是一个常数无所谓的那么就直接把$d$变成$(1,0)$就可以直接解了

2. $c!=0$
   那么我们可以直接另这个$c=(1,0)$反正上下有比例都是无所谓的，现在有3个变量，3个方程也可以直接接高斯消元就可以了

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AC code

#include 

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll A, ll b) {return b ? gcd(b, A % b) : A;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 3e5 + 10;
const long double eps = 1e-9;
typedef pair<int, int> PII;

typedef complex<long double> cp;
cp A[10][10];

long double mo(cp x) {
    return x.imag() * x.imag() + x.real() * x.real();
}

void guss(int n) {
    for(int i = 1; i <= n; i++ ){
        int r = i;
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
            if(mo(A[j][i]) > mo(A[r][i])) r = j;
        }
        if(r != i) swap(A[r], A[i]);
        if(mo(A[i][i]) < eps) continue;
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            if(i == j) continue;
            cp tmp = A[j][i] / A[i][i];
            for(int k = i; k <= n + 1; k++) {
                A[j][k] -= A[i][k] * tmp; 
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(mo(A[i][i]) < eps) continue;
        A[i][n + 1] /= A[i][i];
    }
}


int main() {
    IOS;
    cp a, b, c;
    cp z[5], w[5];
    cp qz;
    int t;
    long double x, y;
    cin >> t;
    while(t--) {
        for(int i = 1; i <= 3; i++) {
            cin >> x >> y;
            z[i].real(x);
            z[i].imag(y);
            cin >> x >> y;
            w[i].real(x);
            w[i].imag(y);
        }
        cin >> x >> y;
        qz.real(x);
        qz.imag(y);
        a = (w[1] - w[2]) / (z[1] - z[2]);
        b = w[1] - a * z[1];
        cp res;
        if(mo(a * z[3] + b - w[3]) < eps) {
            res = a * qz + b;
        } else {
            for(int i = 1; i <= 3; i++) {
                A[i][1] = z[i];
                A[i][2] = cp(1, 0);
                A[i][3] = -w[i];
                A[i][4] = w[i] * z[i];
            }
            guss(3);
            res = (A[1][4] * qz + A[2][4]) / (qz + A[3][4]);
        }
        cout << seteps(12) << res.real() << " " << res.imag() << endl;
    }
}