堆和堆排序
堆排序
堆和优先队列
- 普通队列: 先进先出; 后进后出.
- 优先队列: 出队顺序和入队顺序无关, 和优先级相关.
二叉堆
- 任何一个节点都不大于他的父节点
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- 二叉堆是一棵完全二叉树
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用数组存储二叉堆
因为是一棵完全二叉树, 所以可以使用数组存储.
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依照层序自上而下存储.
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parent(i) = i/2
left child (i) = 2 * i
right child (2) = 2 * i + 1
堆的 C++ 实现
基本框架
这里使用 C++ 的模板类来实现一个大根堆, 基本框架如下.
template
class MaxHeap {
private:
Item *data;
int count;
public:
MaxHeap(int capacity) {
data = new Item[capacity + 1];
count = 0;
}
~MaxHeap() {
delete[] data;
}
int size() {
return count;
}
bool isEmpty() {
return count == 0;
}
};
- 使用模板来实现
- 使用
Item类型的动态数组data来存储数据. - 构造函数中, 传入最大容量
capacity, 我们构建的data数组大小为capacity+1(因为数组中位置 0 不存数据). - 相应的析构函数中释放内存空间.
- 定义
size()函数表示当前存储的数据大小. -
isEmpty()函数表示当前堆是否为空.
向堆中添加元素
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向堆中添加元素, 需要使得新元素放在堆中的合适位置. 实现思路也非常简单:
- 首先将新元素放在堆的末尾.
- 比较新元素与其父节点, 如果大于父节点, 则与父节点交换.
- 直到该元素满足要求.
具体实现也非常简单
void insert(Item item) {
assert(count + 1 <= capacity);
data[++count] = item;
shiftUp(count);
}
void shiftUp(int k) {
// 注意 k > 1, k 最小为 2
while(k > 1 && arr[k/2] < arr[k]) {
swap(arr[k/2], arr[k]);
k /= 2;
}
}
删除堆中的一个元素 (出队操作)
对于大根堆, 出堆只能移除根元素 (最大的元素). 在移除一个元素后, 还需要保持堆的性质不变, 具体的操作包括以下几个步骤:
- 出队根元素
- 将最后一个元素移动到根元素位置
- ShiftDown 操作
ShiftDown 操作就是将根节点的元素逐渐下移到合适位置的操作, 具体来说就是:
-
k初始为1, 指向根节点. - 检测该节点有没有孩子节点, 如果没有孩子节点, 则完成 ShiftDown 操作
- 检测孩子时, 因为是完全二叉树, 所以只需要先看是否有左孩子 (
2 * k). - 和孩子中较大元素进行比较, 如果小于较大孩子, 则与之交换, 否则完成 ShiftDown 操作.
具体代码实现如下:
Item extractMax() {
Item ret = data[1];
data[1] = data[count -1];
shiftDown(1);
return Item;
}
void shiftDown(int k) {
while (2 * k <= count) {
int j = 2 * k;
if (j + 1 <= count && data[j + 1] > data[j]) {
j++;
}
if (data[j] <= data[k]) {
break;
}
swap(data[k], data[j]);
k = j;
}
}
堆排序
有了堆这一数据结构, 我们可以轻易实现一个堆排序算法. 最简单的实现就是将数据依次放入一个堆中, 再依次取出, 就得到了一个有序数据.
template
void heapSort1(T arr[], int n) {
MaxHeap maxHeap = MaxHeap(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
maxHeap.insert(arr[i]);
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
arr[i] = maxHeap.extractMax();
}
}
Heapify
上面我们额外开辟了一个空间来进行堆排序. 下面我们介绍一个操作, 将一个不满足堆的数组变成堆.
这个过程实现也很简单, 使用从小到大的思路即可.
一个单一的元素肯定满足堆的性质, 我们首先将所有叶子节点看做一个堆, 然后依次, 从后向前, 一个一个的将元素加入到子堆中, 加入后, 执行 shiftDown 操作, 就可以使得新生成的子堆也满足堆的性质. 直到最后一个根节点也加入进来, 则数组满足堆的性质. 具体实现起来也非常简单.
MaxHeap(Item arr[], int n) {
data = new Item[n + 1];
capacity = n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
data[i + 1] = arr[i];
}
for (int i = count / 2; i >= 1; i--) {
shiftDown(i);
}
}
使用 Heapify 的操作, 完成的堆排序算法
template
void heapSort2(T arr[], int n) {
MaxHeap maxHeap = MaxHeap(arr, nullptr);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
arr[i] = maxHeap.extractMax();
}
}
原地堆排序
- 一个堆
- 将最大元素与末尾元素交换
- shiftdown 操作
template
void __shiftDown(T arr[], int n, int k) {
while (2 * k + 1 < n) {
int j = 2 * k + 1;
if (j + 1 < n && arr[j] < arr[j + 1]) {
j += 1;
}
if (arr[k] >= arr[j]) {
break;
}
swap(arr[k], arr[j]);
k = j;
}
}
template
void heapSort(T arr[], int n) {
for (int i = (n - 1) / 2; i >= 0; i--) {
__shiftDown(arr, n, i);
}
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
swap(arr[0], arr[i]);
__shiftDown(arr, i, 0);
}
}