高中奥数 2022-02-05

利用数学归纳法证题时,有时需要作出:主动加强命题、借助辅助命题、将命题一般化等处理.

2022-02-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P077 例01）

证明:对任意正整数,都有

证明

如果直接处理,那么为实现归纳过渡,需要不等式成立,这要求,而这等价于.但此不等式不成立.所以,直接用数学归纳法难以证出成立.

我们证明的加强命题:

当时,式左边,右边,故对成立.

现设对成立,则时,有

为证对成立,只需证明

即证

注意到,等价于

所以,成立.从而对也成立,即对任意,都有成立.

结合,可知对任意成立.

说明

有些关于正整数的命题直接用数学归纳法处理时难以实现到的过渡,然而对比更强的命题,在用数学归纳法证明时反而简单,因此需要对命题主动去加强.当然,主动加强命题时通常需在把握问题本质的前提下恰当选择,目的是便于实现归纳过渡.

2022-02-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P078 例02）

设,是的任意一个分划(即中任两个的交集是空集,且.证明:在中有一个集合具有下述性质:存在,使得对任意,在中都可取出个数满足:对,都有.

证明

设,如果中含有任意长的相继正整数段,那么称为长子集.

我们将命题加强为:对任意长子集的任何分划.集合,中必有一个集合具有题设的性质.

对运用数学归纳法.

当时,由长子集的定义,取可知命题成立;

设命题对的情形成立,考虑的情形.

设,.如果为长子集,由归纳假设可知命题成立;如果不是长子集,则必存在,使中没有长为的相继正整数段,由于为长子集,故对任意,中存在长为的相继正整数段,该正整数段中至少有个数属于,现在将这个长为的相继正整数段中属于的最小个数取出,则相邻两数之差不超过.于是,取,则集合具有题给的性质.

综上可知,加强的命题获证.由于本身是一个长子集,所以,原命题成立.

说明

问题本质上要求证明:对的每一个分划而言,都存在集合及,使得将中的数分为长度为的相继整数段后,对任意,都有相邻的个“相继整数段”,满足其中每个“相继整数段”内都有一个数属于.因此如果其他子集的并集中不含有任意长度的相继整数段,那么中就能找到满足条件的个数,依此想到引入“长子集”的概念,进而得到问题的恰当加强.