关于三角形证明一章第一节等腰三角形的归纳与总结（北师大版八年级下）

等腰三角形

定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

等腰三角形的作法（尺规作图）：

 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

      2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧      

相交于点A;

      3.连接AB,AC.

      △ABC为所求作的等腰三角形

等腰三角形的对称性

 (1)等腰三角形是轴对称图形；

 (2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

注意：等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高线及底边中线，三线合一！

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质--本质等腰三角形三线合一

　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（角平分线）

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（角平分线）

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（等腰三角形的外心、内心、垂心都在底边的垂直平分线上）

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.（垂直平分线）

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

                  （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

特殊三角形：

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

含有30°角的直角三角形（可以在这样直角三角形中构建等腰三角形证明）

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.