NOIP2010提高组T2：乌龟棋

题目背景

小明过生日的时候，爸爸送给他一副乌龟棋当作礼物。

题目描述

乌龟棋的棋盘是一行N个格子，每个格子上一个分数（非负整数）。棋盘第1格是唯一的起点，第N格是终点，游戏要求玩家控制一个乌龟棋子从起点出发走到终点。

乌龟棋中M张爬行卡片，分成4种不同的类型（M张卡片中不一定包含所有4种类型的卡片，见样例），每种类型的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字之一，表示使用这种卡片后，乌龟棋子将向前爬行相应的格子数。游戏中，玩家每次需要从所有的爬行卡片中选择一张之前没有使用过的爬行卡片，控制乌龟棋子前进相应的格子数，每张卡片只能使用一次。

游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数，并且在后续的爬行中每到达一个格子，就得到该格子相应的分数。玩家最终游戏得分就是乌龟棋子从起点到终点过程中到过的所有格子的分数总和。

很明显，用不同的爬行卡片使用顺序会使得最终游戏的得分不同，小明想要找到一种卡片使用顺序使得最终游戏得分最多。

现在，告诉你棋盘上每个格子的分数和所有的爬行卡片，你能告诉小明，他最多能得到多少分吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件的每行中两个数之间用一个空格隔开。

第1行2个正整数N和M，分别表示棋盘格子数和爬行卡片数。

第2行N个非负整数，a1a2……aN，其中ai表示棋盘第i个格子上的分数。

第3行M个整数，b1b2……bM，表示M张爬行卡片上的数字。

输入数据保证到达终点时刚好用光M张爬行卡片。

输出格式：

输出只有1行，1个整数，表示小明最多能得到的分数。

输入输出样例

输入样例#1

9 5
6 10 14 2 8 8 18 5 17
1 3 1 2 1

输出样例#1

73

说明

每个测试点1s

小明使用爬行卡片顺序为1，1，3，1，2，得到的分数为6+10+14+8+18+17=73。注意，由于起点是1，所以自动获得第1格的分数6。

对于30%的数据有1≤N≤30，1≤M≤12。

对于50%的数据有1≤N≤120，1≤M≤50，且4种爬行卡片，每种卡片的张数不会超过20。

对于100%的数据有1≤N≤350，1≤M≤120，且4种爬行卡片，每种卡片的张数不会超过40；0≤ai≤100，1≤i≤N；1≤bi≤4，1≤i≤M。

分析

由于第i步所能获得的最大总分数显然依赖于之前的所获得的分数，故考虑使用动态规划求解。又因为每张片

只能使用一次，所以，用dp[i][j][k][s]的下标来表示每张卡片的使用情况，而其值表示在使用i张1，j张2，k

张3，s张4时所能获得的最大分数。仅考虑前一步的情况，dp[i][j][k][s]可能由{ dp[i-1][j][k][s],dp[i][j-1][k]

[s]，dp[i][j]k-1][s]，dp[i][j][k][s-1] }递推而来，故取它们中的最大值加上第i步所在格子的分数，便是第i步

的最大总分数。故可设计出状态转移方程：

dp[i][j][k][s]=max(dp[i-1][j][k][s],dp[i][j-1][k][s]，dp[i][j][k-1][s]，dp[i][j][k][s-1])+当前格子所得分数。

代码如下：

#include
using namespace std;
int dp[50][50][50][50];//存放每一种状态,
int v[500],p[500],num[5];//分别存放当前格子的分数，每张卡片的移动距离及每种卡片的张数 
int n,m;
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(num,0,sizeof(num));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        {   
            scanf("%d",&p[i]);
            num[p[i]]++;
        }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));//初始化 
    dp[0][0][0][0]=v[1]; //初状态：一张也不选时，棋在起点，分数为v[1] 
    for(int i=0;i<=num[1];i++)
        for(int j=0;j<=num[2];j++)
            for(int k=0;k<=num[3];k++)
                for(int s=0;s<=num[4];s++)//四重循环枚举每种状态，复杂度为O(n^4); 
                    {
                        int dis=i+2*j+3*k+s*4+1;//计算当前所在格子 
                        if(i>=1)//以下为状态转移方程 
                           dp[i][j][k][s]=max(dp[i][j][k][s],dp[i-1][j][k][s]+v[dis]);
                        if(j>=1)
                           dp[i][j][k][s]=max(dp[i][j][k][s],dp[i][j-1][k][s]+v[dis]);
                        if(k>=1)
                           dp[i][j][k][s]=max(dp[i][j][k][s],dp[i][j][k-1][s]+v[dis]);   
                        if(s>=1)
                           dp[i][j][k][s]=max(dp[i][j][k][s],dp[i][j][k][s-1]+v[dis]);        
                    }               
    printf("%d",dp[num[1]][num[2]][num[3]][num[4]]);//末状态，由题可确定最终状态必定每张卡片都用完            
    return 0;
}
}