矩阵快速幂算法

矩阵快速幂算法

矩阵快速幂的本质就是 矩阵+快速幂，思路没什么变化。
快速幂的思路见之前的 快速幂介绍，这里就不多说了。
至于矩阵的话，知道矩阵是啥，怎么算乘法就可以了。

相关矩阵基础

注：已经了解矩阵的可以跳过本部分内容。

简单来说 $n\ast m$ 的矩阵就是个 $n$ 行 $m$ 列 的大方块。
矩阵要进行乘法运算必须保证第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。
也就是说 $n_1\ast m_1$ 的矩阵 a 与 $n_2\ast m_2$ 的矩阵 b 相乘，需要保证 $m_1=n_2$ 最终得到的结果为 $n_1\ast m_2$ 的矩阵 c。
对于得到的矩阵 c ，它每个位置的结果为第一个矩阵的第 $i$ 行 与第二个矩阵的第 $j$ 列相乘求和得到。
即结果矩阵中 $i$ 行 $j$ 列的元素 $c[i][j]={\sum }_{k=1}^{m_1}a[i][k]\ast b[k][j]$

具体例子：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\ast 1+2\ast 3& 1\ast 2+2\ast 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 6\end{array}\right]$$

矩阵快速幂

只需要在原来快速幂的基础上，把数字换成矩阵即可。
以下为原版整数的快速幂：

#include 
using namespace std;

int main()
{
	long long a,b,c,ans;
	while(cin>>a>>b>>c)
	{
		ans=1;
		while(b>0)
		{
			if(b&1)ans=ans*a%c;
			a=a*a%c;
			b>>=1;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

代码以洛谷 P3390 模板题为例，关键部分在 qpow 函数中。
为保证原有结构尽可能不被修改，矩阵快速幂代码矩阵乘法部分放在重载运算符中。
Matrix::unit 为单位矩阵，这里在读入数据时顺便初始化了，也可以在 qpow 中进行初始化。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll; 

ll n,k,mod=1e9+7;
class Matrix
{
public:
	static Matrix unit;
	ll data[100][100];
	int n,m;
	
	Matrix operator *(Matrix &mat)
	{
		Matrix tmp=Matrix::unit;
		tmp.n=this->n;
		tmp.m=mat.m;
		for(int i=0;i<this->n;i++)
		{
			for(int j=0;j<mat.m;j++)
			{
				tmp.data[i][j] = 0;
				for(int k=0;k<this->m;k++)
				{
					tmp.data[i][j] += this->data[i][k]*mat.data[k][j];
					tmp.data[i][j] %= mod;
				}
			}
		}
		return tmp;
	}
	
	void print()
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<m;j++)
			{
				if(j!=0)cout<<" ";
				cout<<this->data[i][j];
			}
			cout<<"\n";
		}
	}
};

Matrix Matrix::unit;
Matrix mat;

Matrix qpow(Matrix m1,ll b,ll mod)
{
	Matrix ans=Matrix::unit;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)ans=ans*m1;
		m1=m1*m1;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n>>k;
	mat.n=mat.m=n;
	Matrix::unit.n=Matrix::unit.m=n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			cin>>mat.data[i][j];
		}
		Matrix::unit.data[i][i]=1;
	}
	mat=qpow(mat,k,mod);
	mat.print();
	return 0;
}

补充说明：
如果题目涉及多次取模，建议将矩阵乘法写成 Matrix 的成员函数或者单独一个乘法函数。

应用：快速计算斐波那契数列

斐波那契数列定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
如果需要求的 n 值很大，可能会在递推时超时 ，此时可以利用矩阵快速幂求解。
首先将递推式构造成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n-2)\end{array}\right]$$
这样计算数列的第 n 项时可以利用中间矩阵的 n-1 次幂乘上数列的前两项：
$$\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\ast \left[\begin{array}{c}F(1)\\ F(0)\end{array}\right]$$
因为 F(0)=0 F(1)=1，所以只需要快速计算中间的矩阵，矩阵的第一行第一列位置就是要计算的 F(n)。
由于快速幂文章中介绍的模运算性质，如果题目需要计算时需要对斐波那契数列取模，那么可以直接在矩阵运算过程中进行取模。
题目可以参考 NEFU OJ 2348 小蓝与斐波拉契数列