图论：最短路问题
前言：这两天重新回顾了一下图论中的最短路的一些算法，这里做个笔记总结。
目录
使用场景汇总：
单源最短路：
多源最短路：
思路以及算法模板：
1、朴素dikjstra算法
2、堆优化版dikjstra算法
3、bellman_ford算法
4、spfa算法
5、floyd算法
使用场景汇总：
单源最短路：
题目模板，给定n个点m条边，求1到n的距离
边权均为正数的情况：
使用条件：1、当n的数量与m²的数量近似，应使用邻接矩阵的形式储存边权（朴素Dijlstra算法）
2、当n的数量与m的数量近似，应使用邻接表的形式储存 边权 （堆优化Dikjstra算法）
边权存在负数的情况：
使用条件：1、存在负权回路，问法通常为给定k条边情况 （bellman-ford算法）
2、不存在负权回路，但是边权值存在负数（spfa算法）
备注：1、负权回路即存在至少一个回路，转一圈之后1到当前点的距离变为了负数，那么就可以无限转圈，使得第一个点到当前点的距离无限减小，所以通常题目会给定只能走k次，这个时候就要是用到bellman_ford算法
2、spfa算法的时间复杂度度最低为O(nm)，所以出题人如果比较坏，很可能会卡住，但是大多数情况不会去卡这个问题，spfa算法通常也能解决dikjstra算法能解决的问题
多源最短路：
使用条件：1、问多个点，而不仅仅是1点到n点的距离（floyd算法）
思路以及算法模板：
1、朴素Dijkstra算法
2、堆优化版dikjstra算法
3、bellman_ford算法
4、spfa算法
5、floyd算法
1、朴素dikjstra算法
题目模板：给定n个点，m条边，存在重边与自环，边权均为正值，输出1到n的距离，如果不能到达则输出-1（这里写稠密图的情况，即用一个二维数组g[a][b]储存a到b的距离）
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=510,M=10010;
int g[N][N];//储存每个点到另一个点的距离
int dist[N];//储存每个点到1点的距离
int n,m;
bool st[N];//判段当前点是否走过
void dikjstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//将每个点到1点的距离初始化为0x3f3f3f3f;
dist[1]=0;//1到自身的距离为0;
for(int i=0;idist[j])) t=j;
}
st[t]=true;
//找到最近的点，用这个点去更新通过这条路到其他点的距离
for(int j=1;j<=n;j++){
//如果原来保存的距离大于原点到t的距离，加上t到j的距离，更新
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);//将每个点到另一个点的距离初始化为0x3f3f3f3f
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b]=min(g[a][b],c);//这里因为存在重边，所以保存一个最小的
}
dikjstra();
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) puts("-1");
else printf("%d",dist[n]);
return 0;
} 然后我们就会发现，每次都要找距离最近的点是不是太麻烦了呢，所以这里就可以用priority_queue，用堆去优化，在存入的时候就能找到最近的点
2、堆优化版dikjstra算法
注意要用priority_queue
题目模板与上面的朴素算法一样，但是这里用稀疏图即用领接表演示
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
typedef pair PII;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;//头结点，当前点指向的下一个点，当前点指向的下一个点的地址，idx用来记录地址
bool st[N];//判段当前点有没有走过
int dist[N];//储存当前点到1点的距离
int n,m;
void add(int a,int b,int c){
//用数组模拟链表的add
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dikjstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
priority_queue,greater> heap;
heap.push({0,1});//先将1点到自身的距离加入进去
while(heap.size()){
auto t=heap.top();//取出第一个元素
heap.pop();
int distance=t.first,var=t.second;
//如果这个点没走过，用这个点更新这个点到他连接的点的距离
if(!st[var]){
st[var]=true;//将这个点更新为走过
for(int i=h[var];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];//获得这个点链接的所有点
if(dist[j]>dist[var]+w[i]){
dist[j]=dist[var]+w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);//将每个的头结点设为-1
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
}
dikjstra();
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) puts("-1");
else printf("%d",dist[n]);
return 0;
} 3、bellman_ford算法
bellman_ford算法是一个很慢的算法，我学到的使用情况只有存在负权回路才要用，通常题目会给定最多走k条边
题目模板：给定n个点，m条边，边权可能为负数，可能存在负权回路，求给定k条边的情况下1到n的最小距离，如果不能则，输出impossible。
后面都用邻接表的形式举例子
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int e[N],w[N],ne[N],h[N],idx;
bool st[N];
int dist[N],backup[N];//这里要储存上一次的dist，因为不能让当前的点将当前的距离更新了，否则判段k条边
int n,m,k;
struct Edge{
int a,b,w;
}edges[N];
void bellman_ford(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;//初始化,将1到本身的距离为0
for(int i=0;i0x3f3f3f3f/2) puts("impossible");
else printf("%d",dist[n]);
return 0;
} backup再重新记一下，因为比如1到2的距离是1,2到3的距离是1,1到3的距离是2，按照我们通常的写法，这里会用1到2的距离更新1到3的距离，但是用了两条边，我们假设1条边的情况下这个写法就是错误的了，所以要用backup来备份，这样就会用负无穷来更新1到3的距离。
4、spfa算法
spfa算法可以使用于边权值存在负数的情况，但是如果存在负权回路，则不能用spfa算法
很使用，写起来很简单，所以这个是重点，通常不会卡spfa和dikjstra算法之间时间复杂度差距
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N],e[N],w[N],ne[N],idx;
bool st[N];//这里的st判段的是是否储存在队列中
int dist[N];
int n,m;
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void spfa(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//初始化每个点到1的距离为0x3f3f3f3f
dist[1]=0;
queue q;
q.push(1);
st[1]=0;//初始化，把1加入队列
while(q.size()){
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
//更新距离
if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j]){//将要更新的点加入队列
st[j]=true;
q.push(j);
}
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);//初始化头结点为-1
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
}
spfa();
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2 ) puts("impossible");
else printf("%d",dist[n]);
return 0;
} 注意，这里的st与前面的st的含义不一样，这里的st指的是是否在队列中
5、floyd算法
floyd算法通常是多个点到一个点的距离，时间复杂度为n的三次放，实现原理为动态规划，用i到w的距离和w到j的距离更新i到j的距离，代码较简单，但是注意循环次序为wij
题目模板：给定n个点m条边，边权可能为负数，不存在负权回路，给定k个查询，每个查询包含两个数a和b，求x到y的最短距离，如果不能到则输出impossible
第一行输入n,m,q
后m行输入a,b,w
后q行输入查询a,b
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=210,INF=1e9+10;
int d[N][N];//代表两个点的距离
int n,m,q;
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
//初始化，让每个点到自身的距离为0，到其他点的距离为0x3f3f3f3f
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j) d[i][j]=0;
else d[i][j]=INF;
}
}
while(m--){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
d[a][b]=min(d[a][b],c);
}
floyd();
while(q--){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if(d[a][b]>0x3f3f3f3f/2) puts("impossible");
else printf("%d\n",d[a][b]);
}
return 0;
} 后文：
1、函数都是用的void返回，因为如果边权存在负数的情况，设的走不到返回-1，如过dist[n]=-1，就会出现问题，但是正数不存在这个问题
2、为什么用if(d[a][b]>0x3f3f3f3f/2)，因为如果边权纯在负数，会用这个距离去更新其他的点，导致他的距离不为0x3f3f3f3f，可能是0x3f3f3f3f-2或者-3这种，所以每次都用他大于一个数做比较，亲测都能过