单信号源与多信号源下的数字波束形成

单一信号源

假设来波方向为$\theta$，波束平行照射，那么信号的导向矢量为：
$$\text{a}(\theta )=[1,e^{jkdsin(\theta )},...,e^{jk(N-1)dsin(\theta )}{]}^T$$
这里的导向矢量的相位关系，可以理解为，以最左边天线接收到的信号的相位为基准，记为1， 那么剩下的相位在图示中均是超前的，可以通过波长与相位之间的关系，确定剩下的天线接收到的信号与基准天线出接收到信号的相对相位差。通过导向矢量，我们可以说明来波的方向。

现在，接收到了一组由N个天线接收的信号：
$$\text{X}(t)=[x_1(t),x_2(t),...,x_N(t){]}^T$$
可以用导向矢量表示为
$$\text{X}(t)=s(t)\text{a}(\theta )+\text{N}(t)$$
其中s(t)为信号的包络，且已经运用了窄带信号的包络近似。N(t)为噪声分量。

设定权值向量为
$$\text{W}=\text{a}({\theta }_0)$$
即
$$\text{W}=\text{a}({\theta }_0)=[1,e^{jkdsin({\theta }_0)},...,e^{jk(N-1)dsin({\theta }_0)}{]}^T$$
可见W的共轭转置为
$${\text{W}}^H=[1,e^{-jkdsin({\theta }_0)},...,e^{-jk(N-1)dsin({\theta }_0)}]$$
根据上图结构，有
$$y(t)={\text{W}}^H\text{X}(t)=s(t){\text{W}}^H\text{a}(\theta )+{\text{W}}^H\text{N}(t)$$
可以看出，当来波方向$\theta ={\theta }_0$时，
$${\text{W}}^H\text{a}(\theta )=1+1+...+1=N$$
实现了相干叠加，获得最大的增益。利用这一点，通过调节${\theta }_0$的取值，可以实现方向的选择。

实际上，
$$\begin{gathered} {\text{W}}^H\text{a}(\theta )=1+e^{jkd(sin\theta -sin{\theta }_0)}+...+e^{jk(N-1)d(sin\theta -sin{\theta }_0)} \\ =\frac{1-e^{jkNd(sin\theta -sin{\theta }_0)}}{1-e^{jkd(sin\theta -sin{\theta }_0)}} \\ =e^{jk\frac{N-1}{2}d(sin\theta -sin{\theta }_0)}\frac{sin(\frac{Nkd}{2}(sin\theta -sin{\theta }_0))}{sin(\frac{kd}{2}(sin\theta -sin{\theta }_0))} \end{gathered}$$

MATLAB仿真验证

下面进行仿真验证，来波方向角设定为30°。

clear;clc;close all;
lambda = 0.3;
N = 8;
k = 2*pi/lambda;
d = lambda/2;
theta = 30*pi/180;
s = 1;
n = 0 : N-1;
Noise = 0.25*randn(N, 1);
a = exp(1i*k*d*n.'*sin(theta));
X = s*a+Noise;
Nsam = 12+1;
y = zeros(1, Nsam);
for p = 1 : Nsam
    theta_0 = (p-1)*pi/2/(Nsam-1);
    WH = exp(-1i*k*d*n*sin(theta_0));
    y(p) = s*WH*a+WH*Noise;
end
figure;
sq = 0 : Nsam-1;
stem(sq*90/(Nsam-1), abs(y));
xlabel('\theta_0    ^o');
ylabel('|y|');

多个信号源

当信号源有多个时，有有了多个来波方向，设信号源的个数为m，则接收信号矢量就可以表示成：
$$\text{X}(t)=\text{A}\text{S}(t)+\text{N}(t)$$
其中$\text{A}=[\text{a}({\theta }_1),\text{a}({\theta }_2),...,\text{a}({\theta }_i),...,\text{a}({\theta }_m)]$，$\text{S}(t)=[s_1(t),s_2(t),...s_m(t){]}^T$,$\text{a}({\theta }_i)=[1,e^{jkdsin({\theta }_i)},...,e^{jk(N-1)dsin({\theta }_i)}{]}^T$, $\text{X}(t)=[x_1(t),x_2(t),...,x_N(t){]}^T$

在这里，每一个天线出接收到的信号等于多个信号源的叠加，叠加时考虑了因天线位置不同的产生的各自的相对相位差。

最终，
$$y_{1\times 1}={\text{W}}_{1\times N}^H{\text{A}}_{N\times P}\text{S}(t{)}_{P\times 1}+{\text{W}}_{1\times N}^H\text{N}(t{)}_{N\times 1}$$
注意，权值只能适应一个方向。