阵列导向矢量(Steering vector)推导

阵列导向矢量(Steering vector)详细推导

在毫米波信道模型中,常见的建模方式为Saleh-Valenzuela信道模型,其涉及天线阵列的导向矢量,其实描述的是相邻接收天线之间的信号相位差,相位差进一步通过路程差反应出来,本文推导出均匀线阵(ULA)和均匀平面阵(UPA)天线阵列的steering vector:

ULA:

阵列导向矢量(Steering vector)推导_第1张图片

相邻天线间的间距为 d d d,入射夹角为 θ \theta θ,则路程差如图为 d ∗ s i n ( θ ) d*sin(\theta) dsin(θ,相位差则为 2 π d s i n ( θ ) / λ 2\pi dsin(\theta)/\lambda 2πdsin(θ)/λ,以左边第一个天线为参考点,steering vector 表示为:
a = [ 1 , e j 2 π λ d sin ⁡ ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N − 1 ) sin ⁡ ( θ ) ] T a = {[1,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \theta \right)}},...,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\left( {N - 1} \right)\sin \left( \theta \right)}}]^T} a=[1,ejλ2πdsin(θ),...,ejλ2πd(N1)sin(θ)]T
其中 N N N为天线个数。

UPA:

结论如下:对于长为 N Z N_Z NZ,宽为 N Y N_Y NY的UPA天线,其对应方位角为 φ \varphi φ,仰角为 θ \theta θ,相邻天线间间距为 d d d,其导向矢量为 a = a z ⊗ a y a = {a_z} \otimes {a_y} a=azay,其中:
a z = [ 1 , e j 2 π λ d sin ⁡ ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N Z − 1 ) sin ⁡ ( θ ) ] T {a_z} = {[1,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \theta \right)}},...,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\left( {{N_Z} - 1} \right)\sin \left( \theta \right)}}]^T} az=[1,ejλ2πdsin(θ),...,ejλ2πd(NZ1)sin(θ)]T
a y = [ 1 , e j 2 π λ d sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( θ ) , . . . , e j 2 π λ d ( N Y − 1 ) sin ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( θ ) ] T {a_y} = {[1,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \theta \right)}},...,{e^{j\frac{{2\pi }}{\lambda }d\left( {{N_Y} - 1} \right)\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \theta \right)}}]^T} ay=[1,ejλ2πdsin(φ)cos(θ),...,ejλ2πd(NY1)sin(φ)cos(θ)]T
Remark: 由于方位角及仰角的定义不同,阵列矢量通常不同,视情况而定。

推导如下:

阵列导向矢量(Steering vector)推导_第2张图片
阵列导向矢量(Steering vector)推导_第3张图片
阵列导向矢量(Steering vector)推导_第4张图片

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