从阵列导向矢量 steering vector -----＞ S-V MIMO model

Ref: [1] [Sum and difference coarray based MIMO radar array optimization with its application for DOA estimation]
[2] Tse的“Fundamental wireless communications"中 第7章

在看论文的过程中，常用经典的信道S-V model如下
$$\mathbf{H}=\sum _{l=1}^L{\alpha }_l{\mathbf{a}}_r(\theta ){\mathbf{a}}_t^H(\gamma )$$
同时,也有文章是采用
$$\mathbf{H}=\sum _{l=1}^L{\alpha }_l{\mathbf{a}}_r(\theta ){\mathbf{a}}_t^T(\gamma )$$
一个是共轭转置，一个是转置。采用conjugate transpose的信道模型在数学上有很多方便，但到底哪个才符合实际情况呢？这个问题困扰了我很久，最近终于有结论了。
实际中应该是transpose，而非 conjugated transponse。这一点得到了Emil教授的回复。

原因如下：
如图所示，在远场假设下，电磁波到达ULA不同阵列单元可以近似为平行，$x_1$和$x_2$的信号存在一个相位差， 而相位差是由距离差造成的，假设x1和x2之间的距离为$d$，论文中通常成为antenna spacing，以$x_1$为参考点, 相位为$0$，$x_n$单元的距离差可以近似为 $(n-1)d\sin (\theta )$，而且$x_1$的信号走过的距离最长，所以$x_n$的相位要超前一些，$\exp (\frac{j2\pi (n-1)d\sin (\theta )}{\lambda })$。 注意这里不管是发送信号到target 还是从target反射回来，走过的距离是一样的，从而不同单元之间的距离差也是一样的，从而相位是一样的，如果用conjugate transpose，对于相同的角度$\theta$， 发送和接收相位就会相反，这跟实际情况是不同的，所以应该是transpose.

那第二个问题就来了，为什么论文中很多都用conjugate transpose呢？或者问，在什么情况下是等价的呢？
为了讲清楚这个问题，我们首先要引入坐标系
以$x_1$为原点 ${\mathbf{p}}_0=[0,0,0{]}^T$， $x_1\to x_n$的方向为$x$轴， 以朝向上方与$x$轴定为$y$轴的正方向，设target在该坐标系下的坐标为$\mathbf{p}=[p_x,p_y{]}^T$，则

1. 当天线作为 transmit　antenna的时候，方向矢量，$\mathbf{k}\triangleq \frac{\mathbf{p}-{\mathbf{p}}_0}{\Vert \mathbf{p}-{\mathbf{p}}_0\Vert }$, 则角度 ${\theta }_t\triangleq {\cos }^{-1}({\mathbf{k}}^T{\mathbf{e}}_y)$, 其中${\mathbf{e}}_y=[0,1{]}^T$
2. 当天线作为 receive antenna的时候，方向矢量，$\mathbf{k}\triangleq \frac{{\mathbf{p}}_0-\mathbf{p}}{\Vert {\mathbf{p}}_0-\mathbf{p}\Vert }$, 则角度 ${\theta }_r\triangleq {\cos }^{-1}({\mathbf{k}}^T{\mathbf{e}}_y)$.

角度的定义都是一样的，由此可见，当我们讨论路径的时候，要固定好参考系，
这个问题对于收发不共址的情况影响不大，因为可以自己选择reference point和参考系，但对于full-duplex antenna或者 upling/downlink reciprocity的时候，就很让人迷惑。