01 前言
当你看到这个题目时有没有产生这样的疑惑：
啥，成年人还要学习数学，有必要吗？只要懂小学的加减乘除，再懂点比例之类的概念就足够了，学这么多复杂的数学知识简直是在浪费生命。
曾经作为数学老师的我，虽然一直认为成人学习数学很有用，但是到底有啥用我也说不好。
所以笛卡尔有句话说的对：
人一生当中应该至少有一次给你的思想洗一次澡。
要想搞清楚成年人如何学数学，首先要搞清楚成年人为啥要学数学。
02 成年人学数学有啥用？
成年人的世界总是与问题为伴。
当面对一个崭新的问题时，你通常解决问题的思维方式是什么？
此处不妨停顿十秒钟，想一想。
我的第一反应是依靠过去的经验，如果经验搞不定，我就会去找想对应的案例或者寻找高手指点迷津。
直到我听了混沌大学善友教授的创新理论课，我有了全新的思考。
混沌理论课把人的认知分为四个层次，如图：
就和爬楼一样，一楼是感性思维，是用过去的经验信息处理问题，比如我的第一反应，这也是绝大多数人都会用的思维方式。
二楼是理性思维，是用思维模型去解决问题。所谓思维模型，在我看来就是被验证过的一套打法去解决问题，就像我找成功案例和找高手请教一样，其本质是一种对标思维。
对标其实是很厉害的一种思维，高手总是对标最厉害的人。
毕加索曾经就说过：Good artists copy, great artists steal ( 优秀者模仿，伟大者剽窃）
还有没有比对标思维更加厉害的呢？还真有，三楼叫做哲科思维。
什么叫哲科思维呢？
要想深入理解哲科思维，必须与另外一个概念做对比，这个概念叫做技艺思维。
技艺思维：古老东方文明，是经验的试错法，实践操作在先，经验总结在后，典型的归纳法思维
哲科思维：近代西方文明，是逻辑的试错法，逻辑假设在先，实践检验在后，典型的演绎法思维
说的通俗点，技艺思维（一楼和二楼）是把行动之后的总结奉为圭臬，来指导自己的行动；哲科思维是从这个世界最基本的原理出发，来指导自己的行动。
一个以事实为“一”，一个以逻辑为“一”。
这些最基本的原理也被称之为第一性原理，它是哲科思维上的王冠。
这样说还是比较抽象，举一个埃隆·马斯克的例子：
埃隆·马斯克想要发射载人飞船，但是载人飞船控制器的成本总计1.4亿人民币，这简直是天价！马斯克没有放弃，他从物理学的第一性原理出发，拆分到足够细，用工业级的器件通过组合创新制作昂贵的宇宙级器件，价格只有2.6万人民币,极大的降低了生产的成本。
这是多少倍的差距？1.4亿/2.6万=5384倍.
这个例子给了我很大的震撼，如果埃隆·马斯克只是寻求已知的答案，他就不可能有这样的创新。这就是第一性原理的魅力：
逻辑上成立的，事实上一定成立。
于是我想，既然物理学的第一性原理可以指导实践发挥这么大的功效，数学是不是也可以呢？
任何事情只要在逻辑上成立，必然在现实中发生。如果这个前提成立，那就可以找到数学中的底层原理，来指导现实生活。
饶了这么一个大圈，就是想说明这件事。
成年人学数学到底有什么用？
不是为了学数学的内容，而是学习数学的思维方式.一元二次方程或者向量都只是锻炼思维的工具而已。
成年人学数学，是为了看似不可能的事情保存一分希望的火种;
成年人学数学，是因为大多数的我们从来不懂这种思维方式。
正如马斯克所言：
我认为普通人的思维方式被传统和过去的经验束缚太多了，人们几乎不从第一性原理的基础上思考任何问题。他们会说：我们这么做，因为我们过去都是这么做的，或者“没人这么做，所以这么做肯定不对。”
03 成年人该如何学习数学？
讲真的，我没有标准答案。
因为对初中数学还比较熟悉，我做的就是，找到我认为可以应用在生活中的数学思维方法，但要提前说明，我并没有做到，我现在只是想到。
如果你还感兴趣，欢迎继续往下阅读。
思维1：概念理解
概念学习是我们学习新知识的不二法门，从数学概念的展示可以得到诸多启发，可以迁移到其他领域：
1）概念由来，由已知到未知
比如根号2 到底是怎么来的。
2）概念严谨性
例如一元一次方程的概念：含有一个未知数，未知数的次数是1的等式叫做方程。三个条件缺一不可。
3）概念之间的联系性
数学概念紧密联系，具有高度可压缩性，一个概念听不懂可能后边100个概念都理解不透彻。反之，学习一个知识=等于100个知识。
4）概念的应用场景
例题和练习题就是新概念最好的应用场景，是最好的举例。
……
概念学习看似简单，实际奥妙无穷。
如果不能用自己的话清晰的表达出概念的意思，实际上就没有真正理解；如果不知道概念之间的联系性，就不知道同类知识之间的连接，就无法构建体系化的知识大厦；如果不知道概念的由来，就不动知识的生成与成长；如果不会做题目，就无法发挥概念的功效。
概念学习，牵一发而动全身。
思维2：看透本质
例如：-1，0，3，8，15，24，35，48，63，80，99……
以上的数字之间有什么联系吗？如果你对于数字特别敏感就会发现，上面的数是平方数减去1之后得到的数字，可以表示为 n²-1 .
从具体的数字到抽象的字母，从看似复杂的现象到简洁优美的规律，这就叫看透本质。
可以理解为发现现象（事物）背后的规律。这样看来，整个数学大厦都是在探寻这样的规律。
看透本质应该成为一种下意识。当我们在生活中看到一种新的现象时，就要思考其背后的原理是什么。比如最近房价持续上涨就是不跌其背后的经济学原理是什么。
高手的特征是能在本质和现象之间来回穿梭。
思维3：抓住因果
一花一菩提，一叶一世界。
有因必有果，有果必有因。由因生果，因果历然。
数学中专门有一门研究因与果的学问叫函数。是的，就是那个让无数莘莘学子为之头疼不已乃至辗转反侧的函数。
我的一个学生曾经问过我：老师，学函数有啥用处啊？
我的回答是：学函数当然有用，而且是大用，它可以让我们更好的理解这个世界。
速度一定时，路程和时间的关系是一次函数，它研究的是线性增长；
但我们真正的世界却是非线性的，比如指数函数。
众所周知，巴菲特的财富就非常符合指数增长（复利法则），难道这是巧合吗？事实是因为他在7岁时就明白了这个道理，并且一直通过行动证明，直至达成。
所以指数增长是可以被设计出来的，这个过程就是数学的第一性原理运用。
思维4：以小见大
如今的社会是一个信息过载的社会，生活中充斥的各类信息如同滔滔江水，如果我们无法把握住有用的信息，就会在汹涌的信息洪流中迷失方向，被裹挟着偏离初衷。
所以，这就要求我们具备一种能力，对庞大数据进行处理，并从中挑选最有意义的信息。由局部信息推到整体，这就是以小见大，这是统计学施展拳脚的地方。
比如只需一勺就知道整锅汤的味道如何，只要做个抽样调查即可。
思维5：寻找周期
日有东升西落，月有阴晴圆缺，年有春夏秋冬。
仔细观察我们很容易发现，周期性是诸多事物发展的规律。周期性，也称循环变动，是随着时间呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动。数学中比较典型的周期就是正余弦波。
周期性给我最大的启发是事物每隔一段时间都要进行重复。一旦重复就可以参考。正如马克吐温那句至理名言：
历史不会重演，但总会押韵。
能把每一天过得圆满，就能把一生过得灿烂。每一天就是一个小周期。
有了周期性，就可以研究事物发展的规律，就像开了一双天眼，未卜先知。
寻找周期，要成为一种本能。
思维6：寻找对称
数学之美，美在对称。
轴对称、中心对称、旋转对称。
对称之美源于自然，是客观存在于宇宙之中，在日常生活中处处都可见。对称之所以为美，这是视觉美的天性使然。而中国人对于自然的崇尚，更反映在对称美的普遍运用之上。
对称的事物能给人一种“安静”的严肃感，蕴含着平衡、稳定之美。
单一的个体，通过对称，可以创造新的事物。这本身就是一种创新。
所以不妨尝试思考：一件事物它的对称面是什么。
思维7：等值替换
等值替换，顾名思义，同等的事物可以相互替换。
最简单的例子:若a=b,b=c,则a=c.
看似简单，但等值替换的思想贯穿于数学学习的始终，是一种转化的思想，应用范围极广。几何证明中等值替换几乎每每用到。
等值替换还有一种变形，不仅可以通过相等的替换，还可以通过和差替换。例如下图中求阴影部分的面积，就是通过圆的面积和三角形面积之差获得。
等值替换的本质就是一种转换。转换告诉我们遇到问题不要执于一隅，打开思维寻找替换，说不定能看到新的天地。
永远记得，凡事必有三种解决方案。
思维8：逆向思维
逆向思维，是对已经司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。
司马光砸缸的故事想必大家耳熟能详，它就是一种逆向思维，不是让人离水，而是让水离缸。
数学中逆向思维应用很广，最典型的例子就是反证法。
反证法：①对想要证明的事物，先进行否定假设；②再从中找到自相矛盾的地方。
举个例子，前边说可以设计指数式的发展，如果这时候有人跟你说做不到。你就可以回击他：请问，你有任何原理能够证明做不到吗？也就是对立面是无法证明为真，那就有可能做到。
逆向思维有很多方向：
因果逆向：倒因为果、倒果为因，看看是否会发生新的创造。
缺点逆向：比如可以思考如何发挥缺点的优势，而不是避免缺点。私以为混沌理论中“低端颠覆”就是逆向思维的极致体现。
……
查理·芒格说：反过来想，总是反过来想。逆向思维至少可以多出50%的思路。
思维9：以终为始
以终为始是斯蒂芬·柯维在《高效能人士的七个习惯》中提到的第二个习惯：
先在脑海里酝酿，然后进行实质创造，换句话说，就是想清楚了目标，然后努力实现之。
而其实，以终为始在几千年前的数学中早已体现的淋漓尽致。初中数学的很多解题思路都是以终为始，最典型的当属几何证明。
几何证明的思路一般是这样：
（1）根据已知结论，追溯上一步是什么，要证A,必先证明B ;要证明B，必先证明C;
(2) 阅读题目，分析条件，把所有已知条件标准到图中；
（3）把由已知条件可以直接推出的条件也标注出来；
（4）再按照倒推的思路证明出C。一般这个过程会有难点，这就是需要着重攻克的地方。
想想我们的人生与几何证明题何其相似。首先必须得清晰自己的目标，然后再一步步拆解目标。下一步就是分析当下自己的条件，可以做到什么样的程度。再按照拆解目标的要求一步步去拼搏。
以终为始是绝对的高手思维：巴菲特在7岁时就确立了财富自由的目标，几十年如一日打造复利增长曲线；山姆·沃尔顿永远设定高的目标，每天为之无所不用其极的奋斗，最终建立零售商业帝国；孙正义20岁之前设定了一生的目标，然后以终为始，疯狂达成目标。
不谋全局者不足以谋一域，不谋万世者不足以谋一时，不谋终局者不足以谋开局。
以终为始，厉害的人会在终点等你。
04 小结
以上是我的一些思考和探索，肯定有许多不完善的地方，这是我百分百确定的：
首先，对于数学思维的阐述不够严谨，甚至不准确，更多的是我的个人感受；
其次，我现在也只是意识到了这件事，我也没有体会到数学思维真正发挥作用的喜悦。
但我还是想写出来，否则这些内容也不会有。
如果哪怕有一个点对你有所启发，我就会非常开心。如果你也有好的想法，欢迎一起探讨交流。
最后，用一段话结束本篇：
无论遇到任何问题，你都可以搜集线索（解题条件），明确目标（待解问题），运用逻辑判断分析能力（计算过程）来加以解决。
在确定问题得到解决之后，你还可以将具体的事情加以抽象分析，从而得出经验，并根据经验归纳出合适的解决办法，以备以后遇到类似问题时参考。
这就是学习数学真正的用意。
以上，所有。
参考书目：
1、永野裕之《写给全人类的数学魔法书》
2、永野裕之《数学好的人是如何思考的》
3、永野裕之《如何唤醒数学脑》