C语言 动态规划——最长上升子序列

问题描述

一个数的序列ai,当a1 < a2 < … < as的时候，我们称这个序
列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, … aN),我们可以得到
一些上升的子序列(a1a…a;x),这里1<=i1 <= N。比如，对于序列(1, 7,3, 5, 9, 4, 8)，有它的- -些上升子
序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比
如子序列(1,3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入数据

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。 第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到1 0000。

输出要求

最长上升子序列的长度。

输入样例

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例

4

解题思路

1.找子问题

"求以ak (k=1, 2, …N) 为终点的最长上升子序列的长度"一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的 "终点”。只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2.确定状态

子问题只与子序列的 “终点” 有关系，故状态为终点的标记 k。状态 k 的值，则是以 ak 为终点的最长上升子序列的长度。状态一共有 N 个。

3.状态转移方程

maxLen ( k ) 表示以 ak 为终点的最长上升子序列的长度。
当 k = 1 时，maxLen ( k ) = 1；
else maxLen ( k ) = max ( maxLen(i):1<=i

代码

#include
int main(){
	int N;
	scanf("%d",&N);
	int a[1001],maxLen[1001]={0};
	int i,k;
	for(i=1;i<=N;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		maxLen[i]=1;
	}
	for(k=2;k<=N;k++){
		for(i=1;i<k;i++){
			if(a[k]>a[i]&&maxLen[i]>=maxLen[k])
				maxLen[k]=maxLen[i]+1;
		}
	}
	for(i=1;i<=N;i++){
		if(maxLen[i]>maxLen[0])
			maxLen[0]=maxLen[i];
	}
	printf("%d",maxLen[0]);
	return 0;
}