【板子】拓扑排序

有向无环图

如果一个有向图的任一个点都无法通过一些有向边回到自身，则称这个图为 有向无环图 DAG。

拓扑排序

如果存在边(u,v)，则拓扑排序中u一定在v的前面。

具体实现

• 定义一个队列，把所有入度为 0 的结点加入到队列。
• 取队首结点，输出。删去所有从他出发的边，并令这些边的另一端的结点入度 - 1。如果某个顶点的入度减为 0，则将其入队。
• 反复执行，直到队列为空。
• 如果输出的结点数恰好为 n，则拓扑排序成功，图 G 为有向无环图 DAG，反之，图 G 中有环。

【注】邻接表实现比较好。

// 邻接表实现
vector<int> g[maxn];
int n,m,inD[maxn];

bool topologicalSort()
{
	int num=0;
    queue<int> q;
    vector<int> inD(n, 0);
    vector<vector<int> > g(n + 1);

    for(auto x:edges) 	// 邻接表存储边（不是邻接矩阵！）
    {
        g[x[1]].emplace_back(x[0]);
        inD[x[0]]++;
    }
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(inD[i] == 0) 	//入度为 0 的顶点入队列
            q.push(i);
            
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        num++; 	// 每取出一个入度为 0 的点，num++
        for(int i = 0; i < g[u].size(); i++) 	// 遍历邻接点，修改邻接点的入度
        {
            int v = g[u][i];
            inD[v]--; 	//入度--
            if(inD[v] == 0) 	// 出现了新的入度为 0 的顶点，入队
                q.push(v); 
        }
        // g[u].clear(); 	//清空顶点u出发的所有边，可忽略
    } 
    if(num == n) return true;
    return false;
}


//邻接矩阵实现
    bool topologicalSort(){
        vector<vector<int> > g(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        vector<int> in(n + 1, 0);
        vector<int> vis(n + 1, 0); 	// 额外建立一个数组记录顶点的访问情况

        for(auto x:edges) 	// 邻接矩阵存储边
        {
            g[x[1]][x[0]] = 1;
            in[x[0]]++;
        }
        
        int cnt = 0;

        while(cnt < n) 	// 当获取 n 个入度为 0 的顶点时，结束循环
        {
            int u = -1;
            for(int i = 0; i < n; i++)
            {
                if(in[i] == 0 && vis[i] == 0) 	// 入度为 0 且未被访问过
                {
                    u = i;
                    vis[u] = 1;
                    break;
                }
            }
            if(u == -1) return false;

            for(int i = 0; i < numCourses; i++)
            {
                if(g[u][i] == 1) 	//存在边，入度--
                    in[i]--;
            }
            cnt++;
        }
        return true;
    }
};

【注】 如果要求有多个入度为 0 的顶点时选择序号最小的，把queue改成priority_queue，或者set也可以。

【注】 邻接表 + 队列 实现时，出现的入度为 0 的顶点一定是之前未被访问过的（因为被遍历到的邻接点 v 至少存在边 (u, v) ，即，入度至少为1），所以不需要 vis 数组；而邻接矩阵实现时，每一次都会遍历所有顶点，所以需要记录那些入度为 0 的顶点已经被计算过了，所以需要 vis 数组，进而防止重复计算。

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