算法设计与分析——循环赛日程表

问题描述：
设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
(2)每个选手一天只能参赛一次；
(3)循环赛在n-1天内结束

按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。

思路：

        按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。

        如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

算法步骤解读：

1. 用一个for循环输出日程表的第一行 for(int i=1;i<=n;i++) a[1][i] = i
   

2. 定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。

3. 用一个for循环将问题分成k部分，对于k=3，n=8(2的k次方)，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经初始化的第一行，填写第二行；第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。for (int s=1;s <= k; s++) n/=2;

4. 用一个for循环对3.中提到的每一部分进行划分for(int t=1;t<=n;t++)对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分
   
   同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理。

5. 最后，根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想，进行每一个单元格进行对角线填充。

 for(int i=m+1;i<=2*m;i++) {//i控制行      

      for(int j=m+1;j<=2*m;j++){  //j控制列       

          a[i][j+(t-1)*m*2]= a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */ 
          a[i][j+(t-1)*m*2-m] =a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */
     }
}

过程

(1)由初始化的第一行填充第二行
(2)由s控制的第一部分填完。然后是s++，进行第二部分的填充

t=1； t=2

(3)最后是第三部分的填充
t = 1

完整代码如下：

#include
#include
using namespace std;

void schedule(vector< vector<int> > &table, int n, int k){

	for(int i = 1; i <= n; i++){
		//初始化表格第一行 
		table[1][i] = i;
	}
	
	int m = 1;
	
	for(int s = 1; s <= k; s++){
		
		n /= 2;
		
		for(int t = 1; t <= n; t++){  //对每一部分进行划分（达到分治目的） 
				
			for(int i = 1 + m; i <= 2*m; i++){ //控制行 
				 
				for(int j = 1 + m; j <= 2*m; j++){   //控制列 
					
					table[i][j + (t-1)*m*2] = table[i - m][j + (t-1)*m*2 - m];  //右下角等左于上角的值 
					table[i][j + (t-1)*m*2 - m] = table[i - m][j + (t-1)*m*2];  //左下角等于右上角的值 
				}
			}	
		}
		m *= 2;
	}
}

int input(int n, int k){
		
	do{
		
		n = n / 2;
		k++;
	}while(n > 1);
	
	return k;
}	

void display(vector< vector<int> > &table, int n){
	
	cout << "比赛日程表：" << endl;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			
			cout << table[i][j] << " ";
			if(j == 1) cout << "| ";
			
		}
		cout << endl;
	}
	
}

int main(){
	
	int k = 0;
	int n = 0;
	cout << "请输入要比赛的人数: ";
	cin >> n;
	vector< vector<int> > table(n+1, vector<int>(n+1)); //创建一个二维数组表示日程表 
	k = input(n, k);  //2的K次方 
	schedule(table, n, k);
	display(table, n);
	
	return 0;
}