Dijkstra算法--单源最短路径

求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系，初始值如下：

用一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下：

我们将此时 dis 数组中的值称为最短路的“估计值”。求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离 1 号顶点最近的顶点。通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”。为什么呢？

因为目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。因为 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短。

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。先讨论通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。也就是说现在来比较 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边松弛成功。这便是 Dijkstra 算法的主要思想：通过“边”来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

`最后对 6 号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。``

//Dijkstra算法--单源最短路径 
#include
using namespace std;
int main()
{
	int n , m;
	int a,b,c,u;
	int e[51][51],book[51];
	int dis[50];
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(i==j)
				e[i][j]=0;
			else
				e[i][j]=99999999;
			
		}
	}
	//输入连通边 
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>a>>b>>c;
		e[a][b]=c;
	}
	//将第一个顶点的初始路程存入dis数组 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dis[i]=e[1][i] ;                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
	}
	//book数组标记最短路程是否确定 
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		book[i]=0;
	} 
	book[1]=1;
	
	//核心算法
	//查找距离一号顶点最近的点，为 u 
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{ 
	//注意每次查找都是新的最小值，所以min要在循环中定义！！！！ 
		int min1=99999999;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(book[j]==0&&dis[j]<min1)
			{
				min1=dis[j];
				u=j;
			}
		}
		//标记u的路径长度已经确定 
		book[u]=1;
		for(int v=1;v<=n;v++)
		{
			//遍历u可以到达的顶点 
			if(e[u][v]<99999999)
			{
				//若直接到达 v 的路径长度大于经过 u 中转的长度，则替换 
				if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
				{
					dis[v]=dis[u]+e[u][v];
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<dis[i]<<" ";
	}
	return 0;
	}

通过上面的代码我们可以看出，这个算法的时间复杂度是 O(N2)。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用“堆”来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 O(logN)。另外对于边数 M 少于 N2 的稀疏图来说（我们把 M 远小于 N2 的图称为稀疏图，而 M 相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表（https://blog.csdn.net/qq_41681845/article/details/98479288） 来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到 O( (M+N)logN )。请注意！在最坏的情况下 M 就是 N2，这样的话 MlogN 要比 N2 还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边，因此(M+N)logN 要比 N2 小很多。