1.有理数
整数和负数
0既不是正数也不是负数
如果一个问题中出现相反意义的量,我们可以用正数和负数分别表示它们
有理数
正整数,0,负整数统称为整数;正分数,负分数统称为分数.
整数和分数统称为有理数(rational number)
在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴(number axis):
1.在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点
2.通常规定只显示从原点向右(或上)为正方形,原点向左(或向下)为负方向
3.选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一点(1,2,3....)
一般地,设a是一个整数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这个两个点关于原点对称
只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值0
有理数的加减法
有理数加法法则
1.同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加
2.绝对值不相等的异号相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数同0相加,仍得这个数
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:a+b+c=a+(b+c)
有理数减法法则:减去一个数等于加这个数的相反数:a-b=a+(-b)
引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算:a+b-c=a+b+(-c)
有理数的乘除法
有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘
任何数与0相乘,都得0
乘积是1的两个数互为倒数
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等
乘法交换律:ab=ba
一般地,有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把两个数线程,积相等
乘法结合律:(ab)c=a(bc)
一般地,有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分配同这个两个数相乘,再把积相加
分配律:a(b+c)=ab+ac
有理数除法法则
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数
a/b=a*(1/b), b!=0
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0
两数相除
有理数的乘方
求n个相同因数的乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power),在a^n中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent)
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0
运算法则
1.先乘方,再乘除,最后加减
2.同级运算,从左到右进行
3.如有括号,限制括号内运算,按小括号,中括号,大括号依次进行
近似数
2.整式的加减
整式
式子都是数或字母的积,这样的式子叫做单项式(monomial),单独的一个数或一个字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree of a monomial)
几个单项式的和叫做多项式(polynomial),其中,每个单项式叫做多项式的项(term),不含字母的项叫做常数项(constant term)
多项式里,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数(degree ofa polynomial)
单项式与多项式统称整式(integral expression)
整式的加减
相同字母的指数也相同的项叫做同类项(Similar items)
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项(unite like terms)
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变
如果括号外的因数是正数,去括号后原来括号内的各项的符号与原来的符号相同
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先区括号,然后再合并同类项
3.一元一次方程
从算式到方程
列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写成含有未知数的等式-方程(equation)
未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元二次方程(linear equation with one unknown)
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解(solution)
等式的性质
1.等式两边加/减同一个数(或式子),结果仍相等
2.等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等
解一元一次方程(1)--合并同类项与移项
解一元一次方程(2)--去括号与去分母
实际问题与一元一次方程
4.几何图形初步
几何图形
几何图形(如长方体,求等)的各部分不都在同一平面,他们是立体图形(solid figure)
几何图形(如线段,三角形,圆等)的各部分都在同一个平面内,它们是平面图形(plane figure)
立体图形展开为平面图形称为展开图(developing drawing)
直线,射线,线段
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简单来说:两点确定一条直线
当两条不同的直线有一个公共点时,我们称这两条直线相交(intersection),这个公共点叫做它们的交点(point of intersection)
两点的所有连线中,线段最短--两点之间,线段最短
直线-line
射线-half line
线段-line segment
角
角(angle)也是一种结合图形
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线(angular bisector)
如果两个角的和等于90°(直角),就是说这两个角互为余角(complementary angle)
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角(supplementary angle)
同角/等角(equiangular)的补角相等
同角(等角)的余角相等