2013 Multi-University Training Contest 5 Partition

思路：五边形数定理！！！

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

亦即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

考虑项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

这就是所求的了，当n<0时，p(n)=0;

p(n)的其他性质：

当限定将表示成刚好个正整数之和时，可以表示为。显然，。

• 对于，
• (OEIS:A004526)
• = 最接近的正整数。(OEIS:A069905)

 

代码如下：

 

 1 #include<iostream>

 2 #include<stdio.h>

 3 #include<algorithm>

 4 #include<iomanip>

 5 #include<cmath>

 6 #include<string>

 7 #include<vector>

 8 #define ll __int64

 9 #define pi acos(-1.0)

10 #define MAX 100001

11 using namespace std;

12 const int mod=1000000007;

13 int an[MAX],n,t;

14 void init(){

15     int i,j;

16     an[0]=an[1]=1;

17     an[2]=2;an[3]=3;an[4]=5;

18     an[5]=7;

19     for(i=6;i<MAX;i++){

20         an[i]=0;

21         for(j=1;;j++){

22             int g=j*(3*j-1)/2;

23             if(i-g<0) break;

24             if(j&1) an[i]+=an[i-g];

25             else an[i]-=an[i-g];

26             an[i]=an[i]%mod;

27             while(an[i]<0) an[i]+=mod;

28             g=j*(3*j+1)/2;

29             if(i-g<0) break;

30             if(j&1) an[i]+=an[i-g];

31             else an[i]-=an[i-g];

32             an[i]=an[i]%mod;

33             while(an[i]<0) an[i]+=mod;

34         }

35         an[i]%=mod;

36     }

37 }

38 int main(){

39     init();

40     scanf("%d",&t);

41     while(t--){

42         scanf("%d",&n);

43         printf("%d\n",an[n]);

44     }

45     return 0;

46 }

View Code