leetcode No279 完全平方数 java

题目

题解

刚看到这道题的时候，我的直觉就告诉我，肯定有很巧妙的数学办法，但是左思右想还是没想出来，算了，还是先上普通的解法吧。

万变不离其‘背包’—完全背包 朴素解法

与昨天的每日一题非常相似（题目作标：No518 零钱兑换Ⅱ 题解作标：No518超基础全方位入门本题）
这道题化成背包问题来看的话，背包问题的物品就是平方数（物品下标为i，体积为i*i）, 背包容量就是给定的数字n。表中i 和 j 分别表示，考虑从1 到 i 这些数中取平方数（比如1、2、3取得为1、4、9），这些平方数以最少的数量相加得到 j ，这个数量为多少。（假设j = 12，i = 3时，dp[i][j] = 3，原因是：12 = 4 + 4 + 4，一共有 3 个 4 组成）

那么问题来了，i 我们该如何取值呢？
实际上，既然要前 i 个数的平方值组成 j 的话，那么最大值 i 的平方数就不可以超过j，因此边界条件为 i * i ≤ j。

假设n值为13，则因此dp表格为：

注：dp[i][0]初始化为0很好理解，至于为什么dp[0][j]初始化为n的原因，先推出动态转移方程再细说 边界问题。

本题推出动态转移方程的核心思想其一就是 dp[i][j] 中j这一项要大于0，现在我们来分步骤考虑：

• 在dp[i][j]中，当不选择下标为i的平方数时，dp[i][j]结果为dp[i - 1][j]（因为不考虑为i的这个数，所以dp[i][j]的答案肯定由前i - 1个数得出）
• 在dp[i][j]中，当选择下标为 i 的平方数时，设 x 等于 i 的平方数（x = i * i），有如下情况：
  ①当取 1 个下标为i的平方数x时，情况为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - x] + 1 （减掉1个x，剩余的值由前i - 1个数得出）
  ②当取 2 个下标为i的硬币时的情况为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - x*2] + 2 （减掉2个x，剩余的值由前i - 1个数得出）
  ③当取 3 个下标为i的硬币时的情况为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - x*3] + 3 （减掉3个x，剩余的值由前i - 1个数得出）
  … (令a = j - x*n ，要保证dp[i][a] 中的a是要大于0的)
  ④当取 m 个下标为i的硬币时的情况为：dp[i][j] = dp[i - 1][j - x*n] + m （减掉n个x，剩余的值由前i - 1个数得出）
  由上述可知，一共有n种情况，我们的dp[i][j]到底该取哪一种情况呢？题目要求我们要“最少能有多少平方数组成”，因此我们应该取这m种情况的最小值，即为：dp[i][j] = min( dp[i-1][j - x], dp[i-1][j - x * 2], … , dp[i - 1][j - x * m] )

将（选择当前下标 i 的情况）和（不选择当前下标 i 的情况）一起考虑，最终的动态转移方程为：
dp[i][j] = min( dp[i-1][j], dp[i-1][j - x] + 1, dp[i-1][j - x * 2] + 2, … , dp[i - 1][j - x * m] + m )
（ j - x * m >= 0 ）
得到的最终表为：

然后返回其dp[3][13]即可

边界问题 ： 昨天经过小伙伴的提醒，我注意到初始化值这一块也需要注意注意这里解释一下为什么dp[0][j]初始化为n的原因：