【C++杂货铺】会杂耍的二叉搜索树——AVLTree
文章目录
- 一、前言
- 二、AVL 树的概念
- 三、AVL 树结点的定义
- 四、AVL 树的框架
- 五、AVL 树的插入
-
- 5.1 平衡因子的更新
- 5.2 AVL 树的旋转
-
- 5.2.1 左单旋
- 5.2.2 右单旋
- 5.2.3 先右单旋再左单旋
- 5.2.4 先左单旋再右单旋
- 5.3 AVL 树插入完整代码
- 5.4 AVL 树的验证
- 六、AVL 树的删除
- 七、AVL 树的性能
- 八、结语
一、前言
在上一篇文章中对 set、multiset、map、multimap 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器都有一个共同点：其底层都是借助二叉搜索树来实现的。但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成为单支树，时间复杂度会退化成 O ( N ) O(N) O(N)，因此 set、map 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。那么今天就让我们对 set 和 map 的底层结构一探究竟。
二、AVL 树的概念
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但是如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率就会变得低下。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1（超过 1 需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一颗 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
-
它的左右子树都是 AVL 树。
-
左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（-1、0、1）。
小Tips：如果一颗二叉搜索树是高度平均的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log2^n) O(log2n)，搜索时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log2^n) O(log2n)。平衡二叉搜索树中平衡并不是说要让平衡因子始终保持 0，这是做不到的，以两个结点为例，根节点的平衡因子只可能是 1 或者 -1，不可能是 0。二叉搜索树在实际中基本不太可能实现完全平衡，但是理论上可以，即满二叉树。后面我们学的多叉平衡搜索树在现实中可以做到完全平衡。
三、AVL 树结点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv = pair<K, V>())
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
pair<K, V> _kv;//存储key和value
AVLTreeNode<K, V>* _left = nullptr;//指向左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right = nullptr;//指向右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent = nullptr;//指向父亲结点
int _bf = 0;//平衡因子
};
四、AVL 树的框架
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:
Node* _root = nullptr;
};
五、AVL 树的插入
AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步：
-
按照二叉搜索树的方式插入新节点。
-
调整结点的平衡因子。
5.1 平衡因子的更新
新结点插入后，AVL 树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了 AVL 树的平衡性。假设新插入的结点为 cur，那么 cur 的平衡因子一定是 0，因为它的左后孩子都是 nullptr。但是 cur 的双亲结点 parent 的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent 的平衡因子分为三种情况：-1、0、1。对 parent 平衡因子的调整分为以下两种情况：
-
如果
cur插入到parent的左侧，只需要给parent的平衡因子 − 1 -1 −1 即可。 -
如果
cur插入到parent的右侧，只需要给parent的平衡因子 + 1 +1 +1 即可。
此时更新后 parent 的平衡因子有以下三种情况： 0 0 0、 ± 1 ±1 ±1、 ± 2 ±2 ±2
-
如果
parent的平衡因子为 0 0 0，说明插入前parent的平衡因子一定为 ± 1 ±1 ±1，即左右孩子中一定有一个是nullptr，并且新结点就插入在为空的一侧，插入后平衡因子被调整成 0 0 0，整棵树的高度任然不变，满足 AVL 树的性质，插入成功。 -
如果
parent的平衡因子是 ± 1 ±1 ±1，说明插入前parent的平衡因子一定是 0 0 0，即插入前parent的左右孩子都为nullptr，并未新结点就插入在parent的任意一侧，所以插入后平衡因子被调整成了 ± 1 ±1 ±1，此时以parent为跟的树的高度增加了，需要继续沿着祖先结点向上更新，知道某一个祖先节点的平衡因子变成了 0 0 0，此时更新结束，插入成功。 -
如果
parent的平衡因子为 ± 2 ±2 ±2，则parent的平衡因子违反了平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。
情况一：
情况二：
情况三：
5.2 AVL 树的旋转
如果在一颗原本是平衡的 AVL 树中插入一个新结点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据结点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：
5.2.1 左单旋
新结点插入在较高右子树的右侧----右右：即 parent 的平衡因子是 2 2 2，cur 的平衡因子是 1 1 1，此时就需要左单旋。下面举两个左单旋的例子。
例一：
例二：
抽象图：
小Tips：无论是这四种旋转中的哪一个，都要保证以下两点：首先在旋转的过程中要保证这棵树是搜索树，其次经过旋转后，这棵树应该变成平衡树，且降低这个子树的高度。这两点就决定了左旋的核心操作就是将 cur 的左子树给 parent 的右子树，再让 parent 成为 cur 的左子树。
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
parent->_right = curleft;
cur->_left = parent;
if (curleft)
{
curleft->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
5.2.2 右单旋
新结点插入在较高左子树的左侧----左左：即 parent 的平衡因子是 − 2 -2 −2，cur 的平衡因子是 − 1 -1 −1，此时就需要右单旋。
抽象图：
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;//此时的情况是curright比cur大，比parent小
parent->_left = curright;
cur->_right = parent;
if (curright)
{
curright->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (ppnode)
{
cur->_parent = ppnode;
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
5.2.3 先右单旋再左单旋
新结点插入在较高右子树的左侧----右左：即 parent 的平衡因子是 2 2 2，cur 的平衡因子是 − 1 -1 −1。此时就需要先以 cur 为旋转点进行一个右单旋，再以 parent 为旋转点进行一个左单旋。下面给大家举两个例子。
例一：
例二：
抽象图：
小Tips：右左双旋的本质是把 60 结点的右边给了 90 结点的左边，把 60 结点的左边给了 30 结点的右边，然后 60 结点变成了这颗子树的跟结点。进行右左双旋后，平衡因子的更新有以下三种情况：
-
插入后 60 结点的平衡因子是 0 0 0，说明 60 自己就是新增节点，此时
parent和cur的平衡因子都是 0 0 0。 -
插入后 60 结点的平衡因子是 − 1 -1 −1，说明是在 60 结点的左侧插入，此时
parent的平衡因子是 0 0 0，cur的平衡因子是 − 1 -1 −1。 -
插入后 60 结点的平衡因子是 1 1 1，说明是在 60 结点的右侧插入，此时
parent的平衡因子是 − 1 -1 −1，cur的平衡因子是 0 0 0。
//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = cur->_bf = curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
cur->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
cur->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
}
5.2.4 先左单旋再右单旋
新结点插入在较高左子树的右侧----左右：即 parent 的平衡因子是 − 2 -2 −2，cur 的平衡因子是 1 1 1。此时就需要先以 cur 为旋转点进行一个左单旋，然后再以 parent 为旋转点进行一个右单旋。下面为大家举两个具体的实例。
例一：
例二：
抽象图：
5.3 AVL 树插入完整代码
/*AVLTree.h*/
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;//插入成功
}
//找插入位置
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (kv.first < cur->_kv.first)//小于往左走
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)//大于往右走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//相等插入不了
{
return false;
}
}
//找到待插入位置了，进行插入
cur = new Node(kv);
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//控制平衡
//更新衡因子
while (parent)//我们这里始终更新的是parent的平衡银子，当parent为nullptr说明根节点_root的平衡因子已经被我们更新过了
{
//更新平衡因子
if (cur == parent->_left)
{
--(parent->_bf);
}
else if (cur == parent->_right)
{
++(parent->_bf);
}
//判断更新后parent的平衡因子
if (parent->_bf == 0)//输入成功
{
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
//继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//需要旋转
if (cur->_bf == 1 && parent->_bf == 2)//左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (cur->_bf == -1 && parent->_bf == -2)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (cur->_bf == -1 && parent->_bf == 2)//右左单旋
{
RotateRL(parent);
}
else if (cur->_bf == 1 && parent->_bf == -2)//左右单旋
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
private:
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
parent->_right = curleft;
cur->_left = parent;
if (curleft)
{
curleft->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;//此时的情况是curright比cur大，比parent小
parent->_left = curright;
cur->_right = parent;
if (curright)
{
curright->_parent = parent;
}
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (ppnode)
{
cur->_parent = ppnode;
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = cur->_bf = curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
cur->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
cur->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
}
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
int bf = curright->_bf;
RotateL(cur);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = cur->_bf = curright->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = -1;
curright->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
}
5.4 AVL 树的验证
AVL 树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡的限制，因此要验证 AVL 树，可以分为两步：
-
验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。
-
验证其为平衡树。每个结点左右子树高度差的绝对值不超过 1 1 1。其次检查结点的平衡因子是否计算正确。
public:
//中序
void Inorder()
{
return _Inorder(_root);
}
//检测平衡因子
bool IsBlance()
{
return _IsBalance(_root);
}
private:
//中序
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ' ';
_Inorder(root->_right);
return;
}
//求树的高度
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
//检测平衡因子
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << "平衡因子异常:" << root->_bf << endl;
return false;
}
return abs(leftHeight - rightHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
/*test.c*/
int main()
{
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
wcy::AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(make_pair(e, e));
t.Inorder();
cout << endl;
if (t.IsBlance())
{
cout << "成功插入:" << e << endl;
}
else
{
cout << e << "插入失败" << endl;
}
}
return 0;
}
六、AVL 树的删除
因为 AVL 树也是二叉搜索树，可以按照二叉搜索树的方式将结点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除插入不同的是，删除结点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根结点的位置。具体的实现感兴趣的小伙伴可以参考《算法导论》或者《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
七、AVL 树的性能
AVL 树是一颗绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 1 1，这样在查询时可以保证高效的时间复杂度，即 O ( l o g 2 n ) O(log2^n) O(log2n)。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。
八、结语
今天的分享到这里就结束啦！如果觉得文章还不错的话，可以三连支持一下，春人的主页还有很多有趣的文章，欢迎小伙伴们前去点评，您的支持就是春人前进的动力！