32.栈的应用补充-表达式求值

目录

一. 前缀表达式与后缀表达式

二. 中缀表达式转后缀表达式的手算方法

三. 后缀表达式的手算方法

四. 后缀表达式的机算方法

五. 中缀表达式转前缀表达式的手算方法

六. 前缀表达式的机算方法

七. 中缀表达式转后缀表达式的机算方法

八. 中缀表达式的机算

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一. 前缀表达式与后缀表达式

让我们从大家熟悉的表达式说起：((15÷(7 -(1 +1))) × 3)-(2 +(1 +1))。表达式由三个部分组成:操作数、运算符、界限符。其中界限符不可省略，它反映了运算的先后顺序。

某波兰数学家就想：我们能否不用界限符也可以无歧义的表达运算顺序？答案显然是可以的，这就是“波兰表达式”（前缀表达式）和“逆波兰表达式”（后缀表达式）。

前缀表达式：二目运算符+操作数1+操作数2；后缀表达式：操作数1+操作数2+二目运算符

例如：

中缀表达式	前缀表达式	后缀表达式
a+b	+ab	ab+
a+b-c	-+abc	ab+c-
a+b-c*d	-+ab*cd	ab+cd*-

需要说明的是，由于确定中缀表达式的各个运算符的运算顺序不同（例如第3个既可以先算a+b也可以先算c*d），同一中缀表达式转化的前缀表达式和后缀表达式也可能不同。

二. 中缀表达式转后缀表达式的手算方法

1. 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序；
2. 选择下一个运算符，按照[左操作数  右操作数  运算符]的方式组合成一个新的操作数；
3. 如果还有运算符没被处理，就继续2；

例如：前面的中缀表达式各运算符顺序确定如下：

在后缀表达式中，1 1 +先作为一个操作数，然后用7减去，就是7 1 1 + -，再用15除，就是15 7 1 1 + - /，以此类推。

再如，对同一中缀表达式确定不同的运算符顺序：

客观来看两种都正确。但是如果用计算机实现转换，算法需要有确定性，显然前面一种转化运算符的顺序就是运算顺序。更优。

那么如何保证对中缀表达式计算得到后缀表达式的时候，运算符的顺序就是运算顺序呢？显然我们要在确定中缀表达式的运算符运算顺序时不要FreeStyle。这里应当采用所谓“左优先”原则，即：要左边的运算符能先计算，就优先算左边的。

例如：对下面的中缀表达式，确定运算符顺序如下：

三. 后缀表达式的手算方法

方法：从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算，合体为一个操作数。应当注意：两个操作数的左右顺序问题。
 

后缀表达式的特点是：最后出现的操作数被最先计算。

四. 后缀表达式的机算方法

前面说到后缀表达式的特点是：最后出现的操作数被最先计算。这就很完美符合栈的后进先出的特点。接下来讲如何利用栈实现机算。这里栈是操作数栈

1. 从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
2. 若扫描到操作数则压入栈，并回到1，否则执行3；
3. 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到1；
    

以（三）中的第2张图为例：A入栈-B入栈-扫描到+，弹出A和B，执行完A+B后把（A+B）压入栈内-C入栈-D入栈-扫描到*，弹出C和D，执行C*D中把（C*D）压入栈内-E入栈-扫描到/，弹出E和（C*D）【注意先出栈的是右操作数】，执行（C*D）/E后把结果压入栈内-扫描到—，把（C*D）/E和（A+B）弹出，计算（A+B）-（C*D）/E后压入栈内-F入栈-扫描到+，弹出F和（A+B）-（C*D）/E，执行完（A+B）-（C*D）/E+F后压入栈内-扫描结束，这个时候栈内只剩一个元素，它就是最终结果（A+B）-（C*D）/E+F。

五. 中缀表达式转前缀表达式的手算方法

1. 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序；
2. 选择下一个运算符，按照「运算符  左操作数  右操作数」的方式组合成一个新的操作数；
3. 如果还有运算符没被处理，就继续2；

相似的，为了得到唯一表达式，采用“右优先”原则：只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的。例如下面的表达式，选择右面的计算顺序可以得到倒序的运算顺序。

六. 前缀表达式的机算方法

此部分和（四）类似，只不过是从右往左扫描：

1. 从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
2. 若扫描到操作数则压入栈，并回到1；否则执行3；
3. 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算【注意：先出栈的是左操作数】，运算结果压回栈顶，回到1；

七. 中缀表达式转后缀表达式的机算方法

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况:

• 遇到操作数。直接加入后缀表达式。
• 遇到界限符。遇到“(”直接入栈;遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意:“(”和“)”不加入后缀表达式。
• 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式,若碰到“(”或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。

按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

仍然以（三）中的第2张图为例：初始化一个用来存放运算符的栈。

从前到后扫描中缀表达式：A直接加入后缀表达式—+号入栈—B直接加入后缀表达式—扫描到-，+从栈弹出加入后缀表达式，然后-入栈—C直接加入后缀表达式—*入栈—D直接加入后缀表达式—扫描到/，*从栈弹出加入后缀表达式，然后/入栈—E直接加入后缀表达式—扫描到+，/和-依次从栈弹出并加入后缀表达式，然后+入栈—F直接加入后缀表达式—扫描结束，此时栈内只有一个+，把+输出加入到后缀表达式中。

我们再看一个带括号的中缀表达式：A直接加入后缀表达式—+号入栈—B直接加入后缀表达式—*入栈—（直接入栈—C直接加入后缀表达式—扫描到-，此时运算符栈顶元素是（，所以直接把-入栈—D直接加入后缀表达式—扫描到），此时栈底到栈顶有+，*，（，-，依次从栈顶全部弹出【（不进入后缀表达式】—“-”号入栈—E直接加入后缀表达式—扫描到/，入栈—F直接加入后缀表达式—扫描结束，此时栈内有-，/，依次输出/和-，结束。

八. 中缀表达式的机算

其实就是（七）和（四）的结合。

1. 初始化两个栈，操作数栈和运算符栈；
2. 若扫描到操作数，压入操作数栈；
3. 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈)；
    

仍然以（三）中的第2张图为例：A入操作数栈—+入运算符栈—B入操作数栈—扫描到-，弹出运算符等级相同的+，并从操作数栈弹出A和B，计算A+B后压回操作数栈，最后-号入运算符栈—C入操作数栈—*入运算符栈—D入操作数栈—扫描到/，弹出运算符*，同时弹出C和D，计算C*D后压回操作数栈，最后把/压入运算符栈—E入操作数栈—扫描到+，/和-依次弹出。弹出/时计算C*D/E，压回操作数栈中，然后弹出-时计算A+B-C*D/E，压回操作数栈中，最后把+压入运算符栈—F入操作数栈—扫描结束，把运算符栈清空，每弹出一个运算符弹出两个操作数，这样就是A+B-C*D/E+F。